Ітераційна формула Герона

Ітераційна формула Герона має вигляд

$x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)$,

де $a$ — фіксоване додатне число, а $x_{1}$ — будь-яке дійсне число.

Ітераційна формула задає спадаючу (починаючи з другого елемента) послідовність, яка при довільному виборі $x_{1}$ швидко сходиться до величини ${\sqrt {a}}$ (квадратний корінь з числа), тобто:

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}$.

Використовується для чисельного знаходження квадратного кореня з дійсного додатного числа. Кількість правильних десяткових знаків при обчисленнях з використанням формули Герона швидко зростає. Навіть якщо в процесі обчислень буде допущена помилка, то вона буде автоматично виправлена при наступних ітераціях (ітераційний процес, що саморегулюється).

Цю формулу можна отримати, застосовуючи метод Ньютона для розв'язування рівняння $x^{2}-a=0$.

Література

• Abramowitz, Miltonn; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. с. 17. ISBN 978-0-486-61272-0.