Квадратний корінь

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Математичний вираз «квадратний корінь з x»

Квадра́тний ко́рінь з числа x — це число (матриця, функція, оператор тощо), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь.

Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу  x , обов'язково є додатне число (крім 0). Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня і позначається символом  \sqrt{x} або як  x^\frac{1}{2} .

 \sqrt{121} = 11
 \sqrt{9} = 3

Число  -\sqrt{x} теж є квадратним коренем.

В загальному випадку, коли  x  — будь-який алгебраїчний вираз, символом  \sqrt{x} позначається один із коренів, той для якого дійсна частина додатна.

При визначенні квадратного кореня з числа завжди існує дві відповіді. Винятком є число 0. Це показують ставлячи перед відповіддю одночасно знак плюс та мінус[1].

Квадратний корінь як елементарна функція[ред.ред. код]

Квадратний корінь є елементарною функцією і частковим випадком степеневої функції xα з α = 1/2. Арифметичний квадратний корінь є гладким при x > 0, в нулі ж він неперервний справа, але не диференційовний.[2]

Як функція комплексної змінної корінь — двозначна функція, листи якої з'єднуються в нулі.

Узагальнення[ред.ред. код]

Квадратні корені вводяться як розв'язок рівнянь виду x \circ x = a і для інший об'єктів: матриць[3][4], функцій[5][6], операторів[7][8] тощо. Операцією \circ при цьому можуть бути достатньо довільні мультиплікативні операції, наприклад, суперпозиція.

В алгебрі використовується наступне формальне визначення: нехай (G,\cdot) — групоїд і a\in G. Елемент x\in G називається квадратним коренем з \ a якщо \ x \cdot x=a.

Квадратний корінь в елементарній геометрії[ред.ред. код]

Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною геометрією: якщо дано відрізок довжиною 1, то з допомогою циркуля та лінійки можна можна побудувати ті і тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять цілі числа, знаки чотирьох дій арифметики, квадратні корені і нічого крім цього.[9]

Квадратний корінь в інформатиці[ред.ред. код]

У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовах розмітки типу LAΤΕΧ) функція квадратного кореня позначається як sqrt (від англ. square root «квадратний корінь»).

Алгоритми знаходження квадратного кореня[ред.ред. код]

Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається добуванням (квадратного) кореня.

Розклад у ряд Тейлора[ред.ред. код]

\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots,\! при |x| \leqslant 1.

Груба оцінка[ред.ред. код]

Багато алгоритмів обчислення квадратних коренів з додатного дійсного числа S потребують деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються. Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточною, але легко обчислюватися. Якщо S ≥ 1, нехай D буде кількістю цифр S зліва від десяткової коми. Якщо S < 1, нехай D буде кількістю нулів, які йдуть підряд, справа від десяткової коми, взяту зі знаком мінус. Тоді груба оцінка матиме вигляд:

Якщо D непарне, D = 2n + 1, тоді використовуємо  \sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n.
Якщо D парне, D = 2n + 2, тоді використовуємо  \sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n.

Два і шість використовуються тому, що \sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2 \, і \sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,.

При роботі в двійковій (яка використовується комп'ютерами), слід використовувати іншу оцінку 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor} (тут D — кількість двійкових цифр).

Геометричне добування квадратного кореня[ред.ред. код]

Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

|BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|}

Зокрема, якщо \! |AH| = 1, а \! |HC| = x, то |BH|=\sqrt{x}[10]

Ітераційний аналітичний алгоритм[ред.ред. код]

 \begin{cases} x_0 = a \\ x_{n+1} = \dfrac12 \left(x_n + \dfrac{a}{x_n} \right) \end{cases}

тоді  \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a} .

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Г. Корн, Т. Корн «Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом „Додэка- XXI“,2008. — 544 с.»(рос.)
  2. Фихтенгольц, 1962, гл. 2, § 1
  3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  4. Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Спб : БХВ-Петербург, 2006.(рос.)
  5. Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва : Просвещение, 1984.(рос.)
  6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. — Харьков : Изд-во ХГУ, 1966.(рос.)
  7. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва : Мир, 1983.(рос.)
  8. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва : Мир, 1970.(рос.)
  9. Курант, 2000, Глава III Геометрические построения. Алгебра числовых полей
  10. Курант, 2000, с. 148

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.