Квадратний корінь

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Математичний вираз «квадратний корінь з x»

Квадра́тний ко́рінь з числа x — це число (матриця, функція, оператор тощо), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь.

Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу , обов'язково є додатне число (крім 0). Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня і позначається символом або як .

Число теж є квадратним коренем.

В загальному випадку, коли  — будь-який алгебраїчний вираз, символом позначається один із коренів, той для якого дійсна частина додатна.

При визначенні квадратного кореня з числа завжди існує дві відповіді. Винятком є число 0. Це показують ставлячи перед відповіддю одночасно знак плюс та мінус[1].

Квадратний корінь як елементарна функція[ред. | ред. код]

Квадратний корінь є елементарною функцією і частковим випадком степеневої функції xα з α = 1/2. Арифметичний квадратний корінь є гладким при x > 0, в нулі ж він неперервний справа, але не диференційовний.[2]

Як функція комплексної змінної корінь — двозначна функція, листи якої з'єднуються в нулі.

У геометричному сенсі, функція f(x) = x квадратного кореня співвідносить площу квадрата до довжини його сторони.

Для всіх дійсних чисел x

    (див. абсолютне значення)

Для всіх не від'ємних дійсних чисел x і y,

і

Функція квадратного кореня є неперервною для всіх не від'ємних значень x і диференційована для всіх додатних x. Якщо f позначає функцію квадратного кореня, тоді її похідна буде мати наступний вигляд:

Ряд Тейлора для 1 + x при x = 0 буде збіжним для ≤ 1 і буде визначений наступним чином

Квадратний корінь не від'ємного числа використовується для визначення Евклідової нормивідстані), а також у таких узагальненнях як Гільбертів простір. Вона визначає важливе поняття стандартного відхилення, що використовується в теорії ймовірностей і статистиці.

Узагальнення[ред. | ред. код]

Квадратні корені вводяться як розв'язок рівнянь виду і для інших об'єктів: матриць[3][4], функцій[5][6], операторів[7][8] тощо. Операцією при цьому можуть бути достатньо довільні мультиплікативні операції, наприклад, суперпозиція.

В алгебрі використовується наступне формальне визначення: нехай  — групоїд і . Елемент називається квадратним коренем з якщо .

Квадратний корінь в елементарній геометрії[ред. | ред. код]

Квадратні корені тісно пов'язані з елементарною геометрією: якщо дано відрізок довжиною 1, то з допомогою циркуля та лінійки можна можна побудувати ті і тільки ті відрізки, довжина яких записується виразами, що містять цілі числа, знаки чотирьох дій арифметики, квадратні корені і нічого крім цього.[9]

Квадратний корінь в інформатиці[ред. | ред. код]

У багатьох мовах програмування функціонального рівня (а також мовах розмітки типу LATEX) функція квадратного кореня позначається як sqrt (від англ. square root «квадратний корінь»).

Алгоритми знаходження квадратного кореня[ред. | ред. код]

Знаходження або обчислення квадратного кореня заданого числа називається добуванням (квадратного) кореня.

Розклад у ряд Тейлора[ред. | ред. код]

при .

Груба оцінка[ред. | ред. код]

Багато алгоритмів обчислення квадратних коренів з додатного дійсного числа S потребують деякого початкового значення. Якщо початкове значення занадто далеко від справжнього значення кореня, обчислення сповільнюються. Тому корисно мати грубу оцінку, яка може бути дуже неточною, але легко обчислюватися. Якщо S ≥ 1, нехай D буде кількістю цифр S зліва від десяткової коми. Якщо S < 1, нехай D буде кількістю нулів, які йдуть підряд, справа від десяткової коми, взяту зі знаком мінус. Тоді груба оцінка матиме вигляд:

Якщо D непарне, D = 2n + 1, тоді використовуємо
Якщо D парне, D = 2n + 2, тоді використовуємо

Два і шість використовуються тому, що і

При роботі в двійковій (яка використовується комп'ютерами), слід використовувати іншу оцінку (тут D — кількість двійкових цифр).

Геометричне добування квадратного кореня[ред. | ред. код]

Mitjana geomètrica amb teorema de l'altura.PNG

Зокрема, якщо , а , то [10]

Ітераційний аналітичний алгоритм[ред. | ред. код]

тоді .

Квадратні корені від'ємних і комплексних чисел[ред. | ред. код]

Перший виток комплексного квадратного кореня
Другий виток комплексного квадратного кореня
Ріманова поверхня квадратного кореня, показує як ці два витки виглядають разом

Квадрат будь-якого додатного або від'ємного числа буде додатнім, а квадрат 0 це 0. Тому, від'ємне число не може мати квадратного кореня у вигляді дійсного числа. Однак, існує можливість представити його і вести розрахунки у вигляді спеціальних чисел, що називаються комплексними числами, коли не немає рішення для квадратного кореня від'ємних чисел. Для цього вводиться поняття нового числа, що позначається як i (іноді як j, особливо в контексті розрахунку електричного струму де літера "i" традиційно позначає електричний струм) і називається уявною одиницею, що визначена таким чином, що i2 = −1. Використовуючи цю нотацію, ми будемо вважати що i це результат квадратного кореня від −1, але зауважимо, що ми також можемо мати ситуацію, що (−i)2 = i2 = −1 тому −i також є квадратним коренем від −1. Загальноприйнято, що головним квадратним коренем від −1 є i, або в більш загальному випадку, якщо x є будь-яке невід'ємне число, тоді головним квадратним коренем числа −x є

Права частина і насправді є квадратним коренем від −x, оскільки

Для будь-якого не нульового комплексного числа z існує рівно два числа w, таких що w2 = z: головний (позитивний) квадратний корінь z, і його негативний варіант.

Квадратний корінь уявного числа[ред. | ред. код]

Квадратні корені числа i в комплексній площині

Квадратний корінь числа i буде наступним

Цей можна отримати алгебраїчним шляхом знайшовши дійсні числа a і b, такі що

або еквівалентно

Це приводить до появи системи двох рівнянь

що мають наступне рішення

Якщо вибрати з них головний (додатній) корень, отримаємо

Результат також можна отримати, якщо використати формулу Муавра і задати

що приводить до

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Г. Корн, Т. Корн «Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом „Додэка- XXI“,2008. — 544 с.»(рос.)
  2. Фихтенгольц, 1962, гл. 2, § 1
  3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2 изд. — Москва : Наука, 1967. — 576 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  4. Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Спб : БХВ-Петербург, 2006.(рос.)
  5. Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва : Просвещение, 1984.(рос.)
  6. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. — Харьков : Изд-во ХГУ, 1966.(рос.)
  7. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва : Мир, 1983.(рос.)
  8. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва : Мир, 1970.(рос.)
  9. Курант, 2000, Глава III Геометрические построения. Алгебра числовых полей
  10. Курант, 2000, с. 148

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]