Перегляд вихідного коду сторінки Густина ймовірності

[[Файл:Boxplot vs PDF.svg|thumb|350px|[[Коробковий графік]] і функція густини імовірності для [[Нормальний розподіл|нормального розподілу]] {{nowrap|''N''(0,&thinsp;''σ''<sup>2</sup>)}}.]]
{{Otheruses|Густина (значення)}}
{{Сирий переклад|en|дата=серпень 2021}}

'''Густина ймовірності''' або '''щільність''' [[Розподіл ймовірностей|неперервної випадкової величини]]&nbsp;— це [[Функція (математика)|функція]], що визначає [[Імовірність|ймовірнісну міру]] ''відносної правдоподібності'', того що значення випадкової величини буде відповідати заданій події, для кожної окремої події (або точки) у [[Простір елементарних подій|просторі подій]] (множини всіх можливих значень, які може приймати випадкова величина). Іншими словами, в той час, як ''абсолютна правдоподібність,'' що неперервна випадкова величина може прийняти одне конкретне значення дорівнює 0 (оскільки існує нескінченна множина можливих значень), значення функції щільності у двох окремих точках можна використати аби припустити, наскільки ймовірніше ця випадкова величина дорівнює одному значенню порівнюючи з іншим.

У більш точному розумінні, функція густини ймовірності використовується для визначення ймовірності того, що [[випадкова величина]] потрапить у ''заданий діапазон значень'', замість того щоб визначати чи прийме вона одне конкретне значення. Ця ймовірність задається за допомогою [[інтеграл]]а функції густини цієї величини по тому діапазону &mdash; тобто вона задає площу що обмежена функцією густини й горизонтальною віссю координат і обмеженою заданим діапазоном. Функція густини імовірностей є невід'ємною на всій області визначення, а її інтеграл по всьому простору подій дорівнює одиниці.

У випадку, коли ймовірнісна міра є [[Розподіл імовірностей|розподілом випадкової величини]], говорять про '''щільність [[Випадкова величина|випадкової величини]]'''.

== Приклад ==
Припустимо, що представники бактерій зазвичай живуть від 4 до 6 годин. Яка ймовірність того, що бактерія житиме ''точно'' 5 годин? Відповідь&nbsp;— ця імовірність дорівнює 0&nbsp;%. Багато бактерій житимуть ''приблизно'' 5 годин, але немає ймовірності, що будь-яка окрема бактерія проживе ''точно'' 5,0000000000… годин.

Замість того можна поставити питання: яка ймовірність того, що бактерія проживе часу від 5 годин до 5,01 години? Допустимо ця ймовірність становить 0,02 (тобто 2&nbsp;%). Далі, а яка імовірність, що бактерія проживе від 5 годин до 5,001 години? Оскільки інтервал у десять разів менший за попередній, ця ймовірність дорівнюватиме 0,002. Імовірність того, що бактерія житиме від 5 годин до 5,0001 годин повинна дорівнювати близько 0,0002, і так далі.

У цих трьох прикладах, відношення (імовірності прожити кількість часу у заданому інтервалі) до (величини цього інтервалу) приблизно є сталим, і дорівнює 2 на годину (або 2 години<sup>−1</sup>). Наприклад, імовірність, що якась бактерія загине в інтервалі довжиною 0,01-години між 5 і 5,01 годинами життя дорівнює 0,02, а (імовірність 0,02 / 0,01 години) = 2 години<sup>−1</sup>. Ця величина 2 години<sup>−1</sup> називається ''густиною імовірності'' того, що бактерія проживе близько 5 годин.

Щодо відповіді на питання «Яка імовірність того, що бактерія загине, проживши рівно 5 годин?», правильна, але мало зрозуміла відповідь&nbsp;— «0», але кращу відповідь можна записати як (2 години<sup>−1</sup>) <math>dt</math>. Це ймовірність того, що бактерія загине у нескінченно малому проміжку довкола 5 годин, де ''<math>dt</math>'' це величина цього проміжку.

Наприклад, ймовірність того, що вона проживе довше 5 годин, але менше ніж (5 годин + 1 наносекунда), дорівнює (2 години<sup>−1</sup>)×(1 наносекунда) ≃ 6×10<sup>−13</sup> (якщо застосувати приведення одиниць вимірювання 3,6×10<sup>12</sup> наносекунд = 1 годині).

Це є ''функцією густини імовірностей'' ''<math>f</math>'', де <math>f</math>(5 годин) = 2 години<sup>−1</sup>. [[Інтеграл]] функції ''<math>f</math>'' по заданому діапазону часу (не лише для нескінченно малого діапазону, але і для великих діапазонів значень) є ймовірністю, що бактерія проживе задану кількість часу на цьому інтервалі.

== Означення ==

=== Абсолютно неперервний розподіл однієї величини ===

Функція густини імовірності зазвичай пов'язана із [[абсолютно неперервна випадкова величина|абсолютно неперервним]] розподілом однієї випадкової величини. [[Випадкова величина]] <math>X</math> буде мати функцію густини <math>f_X</math>, якщо

: <math> \Pr [a \le X \le b] = \int_a^b f_X(x) \, dx</math>,

де <math>f_X</math>&nbsp;— невід'ємна [[інтеграл Лебега|інтегровна за Лебегом]] функція, яка називається '''функцією густини імовірності''' випадкової величини ''<math>X</math>''.

Якщо ''F<sub>X</sub>''<math>F_X</math> це [[Функція розподілу ймовірностей|кумулятивна функція розподілу]] величини ''<math>X</math>'', тоді:

: <math>F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \, du</math>,

і (якщо ''<math>f_X</math>'' є неперервною в точці <math>x</math>)

: <math> f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)</math>.

Інтуїтивно можна розуміти, що <math>f_X(x)dx</math> є ймовірністю того, що ''<math>X</math>'' потрапить у нескінченно малий [[Проміжок (математика)|інтервал]] <math>[x,x+dx]</math>.

=== Формальне визначення ===
(''Це визначення можна застосувати до будь-якого розподілу імовірностей застосовуючи [[Аксіоматика теорії ймовірностей|визначення імовірності]] на основі [[Міра множини|теорії мір множин]].'')

[[Випадкова величина]] ''X'', що приймає значення із [[Вимірний простір|вимірного простору]] <math>(\mathcal{X}, \mathcal{A})</math> (зазвичай <math>\mathbb{R}^n</math>, де вимірними підмножинами є [[Борелівська сигма-алгебра|Борелівські множини]]) і її [[Розподіл_ймовірностей|розподілом імовірностей]] є міра ''X''<sub>∗</sub>''P'' по <math>(\mathcal{X}, \mathcal{A})</math>: '''густиною''' ''<math>X</math>'' стосовно еталонної міри <math>\mu</math> по <math>(\mathcal{X}, \mathcal{A})</math> є [[Теорема Радона — Нікодима|похідна Радона&nbsp;— Нікодима]]:

: <math>f = \frac{d X_*P}{d \mu}</math>.

Це означає, <math>f</math> є будь-якою вимірною функцією із наступною властивістю:

: <math>\Pr [X \in A ] = \int_{X^{-1}A} \, d P = \int_A f \, d \mu</math>

для будь-якої вимірної множини <math>A \in \mathcal{A}</math>.

Для наведеного вище випадку із неперервним розподілом однієї змінної, еталонною мірою є [[міра Лебега]]. [[Функція маси імовірності]] для [[Випадкова_величина#Дискретна_випадкова_величина|дискретної випадкової величини]] є густиною стосовно [[Лічильна міра|лічильної міри]] по простору подій (зазвичай це є множина [[Цілі числа|цілих чисел]], або деяка її підмножина).

== Зауваження ==

* Функція густини імовірності існує лише для абсолютно неперервних випадкових величин.
* У квантовій механіці&nbsp;— відношення ймовірності знаходження системи в даному елементі об'єму до величини цього елемента об'єму; розраховується як квадрат модуля [[Хвильова функція|хвильової функції]] системи (добуток хвильової функції та її комплексно спряженої функції).

== Властивості ==

* <math>p_\xi(x)\ge 0</math>.
* <math>\int\limits_{X}p_\xi(x)dx=1</math>.
* <math>p_\xi(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{X}e^{-itx}\psi(t)dt</math>, де <math>\psi(t)</math>&nbsp;— [[характеристична функція]] [[випадкова величина|випадкової величини]] <math>\xi</math>.

== Інші особливості ==
На відміну від функції розподілу ймовірностей, функція густини імовірностей може приймати значення більші за одиницю; наприклад, [[Неперервний рівномірний розподіл|рівномірний розподіл]] в інтервалі [0,&nbsp;½] має густину імовірності <math>f(x)=2</math> для <math>0\leq x\leq \tfrac 1 2</math> і <math>f(x)=0</math> для інших значень.

Стандартний [[нормальний розподіл]] має густину імовірності
: <math>
    f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\; e^{-x^2/2}.
  </math>

Якщо дано випадкову величину <math>X</math> і її розподіл дозволяє визначити функцію густини імовірностей <math>f</math>, тоді [[математичне сподівання]] для <math>X</math> (якщо воно існує) можна розрахувати так:
: <math>
    \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx
  </math>.

Не кожний імовірнісний розподіл матиме функцію густини, розподіли [[Випадкова величина#Дискретна випадкова величина|дискретних випадкових величин]] не матимуть її; а також її не існує для [[Розподіл Кантора|розподілу Кантора]], попри те, що він не має дискретних елементів, тобто не призначає додатного значення імовірності для жодної окремої точки розподілу.

Розподіл має функцію густини тоді і тільки тоді, коли його [[функція розподілу ймовірностей]] <math>F(x)</math> [[Абсолютна неперервність|абсолютно неперервна]]. У такому випадку: <math>F</math> [[майже скрізь]] [[Похідна|диференційована]], а її похідна може використовуватися як функція густини ймовірностей:
: <math>
    \frac{d}{dx}F(x) = f(x) </math>.

Якщо розподіл має функцію густини, тоді ймовірність у кожній обраній окремій точці <math>\{a\}</math> дорівнює нулю; те саме стосується [[Скінченна множина|скінченних]] і [[Зліченна множина|зліченних]] множин точок.

Дві функції густини імовірностей ''<math>f</math>'' і ''<math>g</math>'' задають той самий [[розподіл ймовірностей|розподіл імовірностей]], коли вони відрізняються лише на множину [[Порожня множина|нульової міри]] [[Міра Лебега|Лебега]].

== Див. також ==
* [[Розподіл ймовірностей#Неперервні розподіли|Неперервні розподіли]]

== Джерела ==
* {{Колмогоров.Основные понятия теории вероятностей}}

{{Перекласти|en|дата=серпень 2022}}

[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Густина]]
[[Категорія:Базові поняття фізики]]
[[Категорія:Функції пов'язані з розподілами ймовірностей]]