Перегляд вихідного коду сторінки Квадратична функція однієї змінної

{{Otheruses|Квадрат (значення)}}
У [[математика|математиці]], '''квадратична функція'''&nbsp;— це поліноміальна функція з старшим членом другого порядку, тобто функція форми <math>f(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0</math>. Графіком <math>\Gamma_f </math> квадратичної функції служить [[парабола]] з віссю, паралельною осі <math> Oy </math>. При <math> b = c = 0 </math> вершина параболи опиняється в точці <math>(0, 0)</math><ref name=funct>{{cite web|url=http://ua-referat.com/функція|title=Реферат: Функції|author=Ярмонтовіч Д.А.|date=2006|work=|publisher=|accessdate=2011-06-03|archiveurl=https://web.archive.org/web/20110602011446/http://ua-referat.com/функція|archivedate=2011-06-02|deadurl=yes}}</ref>.

[[Файл:Polynomialdeg2.svg|thumb|right|<center><math>f(x) = x^2 - x - 2\,\!</math><center>]]

== Нулі функції ==
{{main|Квадратне рівняння}}

[[Корінь функції|Нулі]] квадратичної функції
: <math>f(x) = ax^2+bx+c\,</math>
це значення ''x'' такі, що ''f''(''x'') = 0.

Коли [[коефіцієнт]]и ''a'', ''b'' і ''c'', — [[дійсне число|дійсні]] чи  [[комплексне число|комплексні]], тоді корені 
:<math>x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 a}, </math>
де [[дискримінант]] визначений як
:<math>\Delta = b^2 - 4 a c \, . </math>

== Властивості ==
[[Image:Function ax^2.svg|thumb|300px|<math>f(x) = ax^2 ,\!</math><math>a=\{0.1,0.3,1,3\}\!</math>|left]]

=== Загальні властивості ===
# Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
# При  <math>b \ne 0 </math> функція не є [[парна функція|парною]] і не є [[непарна функція|непарною]]. При  <math>b = 0 </math> квадратична функція - парна.
# Квадратична функція [[неперервна функція|неперервна]] і диференційована на всій області визначення.
# Функція має єдину критичну точку <math>x =-\frac{b}{2 a}</math>.
# Область зміни функції: при <math>a> 0</math> - безліч значень функції <math>[- \frac{b^2 -4 ac}{4 a}; + \infty)</math>; при <math>a <0</math> - безліч значень функції <math>(-\infty;-\frac{b^2 -4 ac}{4a}]</math>.
[[Image:Function x^2+bx.svg|thumb|325px|<math>f(x) = x^2 + bx,\!</math> <math>b=\{1,2,3,4\}\!</math>]]
[[Image:Function x^2-bx.svg|thumb|325px|<math>f(x) = x^2 + bx,\!</math> <math>b=\{-1,-2,-3,-4\}\!</math>]]
=== Вершина ===
У загальному випадку вершина параболи лежить в точці <math> M_0 (x_0; y_0); x_0 =- \frac{b}{2a}; y_0 = f (x_0) = c-\frac{b ^ 2}{4a} </math>. Якщо <math> a> 0 </math> , То гілки параболи спрямовані вгору, якщо <math> a <0 </math> , То гілки параболи спрямовані вниз.


=== Екстремуми і перегини ===
Якщо <math>a> 0</math>, то в точці <math>x =- \frac{b}{2 a}</math> функція має мінімум. При <math>x <- \frac{b}{2 a}</math> функція монотонно спадає, при <math>x> - \frac{b}{2 a}</math> монотонно зростає.
# Якщо <math> a <0</math>, то в точці <math>x =- \frac{b}{2 a}</math> функція має максимум. При <math>\displaystyle x <- \frac{b}{2 a}</math> функція монотонно зростає, при <math>x> - \frac{b}{2 a}</math> монотонно спадає.
# Точка графіка квадратичної функції з [[абсциса|абсцисою]] <math>x =- \frac{b}{2a}</math> і [[ордината|ординатою]] <math>y = - \frac{b^2 -4 ac}{4 a}</math> називається вершиною параболи.

=== Графік ===
# Графік квадратичної функції перетинається з віссю <math> \displaystyle Oy</math> в точці <math> \displaystyle y = c</math>. У випадку, якщо <math> \displaystyle b^2 -4 ac> 0</math>, графік квадратичної функції перетинає вісь <math>Ox</math> в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо <math> \displaystyle b^2 -4 ac = 0 </math>(квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції торкається осі 0x в точці <math>\displaystyle x =- \frac{b}{2 a}</math>; якщо  <math>\displaystyle b^2 -4 ac <0 </math>, перетину з віссю <math>Ox</math> немає.
# З запису квадратичної функції також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої <math>x =- \frac{b}{2 a}</math> - образу осі ординат при паралельному перенесенні <math>r = -\frac{b}{2 a}; 0)</math>.
# Графік функції <math>\displaystyle F(x) = ax^2 + bx + c</math> (або <math>f (x) = a \left(x + \frac b{2 a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a}</math>) може бути отриманий з графіка функції <math> \displaystyle f(x)=x^2</math> наступними перетвореннями :
## паралельним перенесенням <math>r = (- \frac b{2 a}; 0)</math>;
## стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
## паралельним перенесенням <math>r = (0; - \frac{b^2 -4 ac}{4 a})</math><ref name=funct/>.

== Похідна == 
:<math> y^\prime = \left( x^2 \right)^\prime = 2x </math>.

== Первісна == 
:<math> \int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C </math>

== Див. також ==
* [[Квадратичне програмування]]

== Примітки ==
{{примітки}}
== Посилання ==
* {{УСЕ-4|[http://slovopedia.org.ua/29/53412/23220.html Функція квадратна]}}
{{math-stub}}

[[Категорія:Функції та відображення]]
[[Категорія:Многочлени]]