Кореляційна функція (астрономія)

Кореляційна функція в астрономії описує розподіл галактик у Всесвіті. За замовчуванням «кореляційна функція» відноситься до двоточкової автокореляційної функції. Двоточкова автокореляційна функція є функцією однієї змінної — відстані. Вона описує надлишкову ймовірність виявлення двох галактик, розділених цією відстанню (тобто надлишок над імовірністю, яка виникла б, якби галактики були розподілені рівномірно й незалежно одна від одної). Це можна розглядати як показник нерівності їх розподілу: чим вище значення для певної відстані, тим більш неоднорідним є Всесвіт на цій шкалі відстані.

Для кожної відстані двоточкова кореляційна функція обчислюється шляхом підрахунку кількості пар галактик, які розділені такою відстанню.

Часто цитується таке визначення (Піблс, 1980):

Для випадкової галактики в заданому місці, кореляційна функція описує ймовірність того, що інша галактика буде знайдена на заданій відстані.

Однак це визначення коректне лише в статистичному сенсі, після усереднення за великою кількістю галактик, обраних у якості перша, «випадкова» галактика. Якщо ж вибрано лише одну «випадкову» галактику, то визначення більше не є правильним, бо функція буде сильно змінюватися залежно від того, яку саме галактику обрано.

Якщо припустити, що Всесвіт ізотропний (що показують спостереження), кореляційна функція є функцією скалярної відстані. Двоточкову кореляційну функцію можна записати як

$$\xi _{2}(\left|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right|)=\langle \delta (\mathbf {x} _{1})\delta (\mathbf {x} _{2})\rangle ,$$

де $\delta (\mathbf {x} )=(\rho (\mathbf {x} )-{\bar {\rho }})/{\bar {\rho }}$ є безрозмірною мірою надлишку густини, визначеною в кожній точці. Позначаючи $\Delta =\left|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\right|$, його також можна виразити як інтеграл

$$\xi _{2}(\Delta )={\frac {1}{V}}\int d^{3}x\,\delta (\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} +\mathbf {\Delta } ).$$

Просторова кореляційна функція $\xi (r)$ пов'язана з просторовим спектром потужності Фур'є розподілу галактик, $P(k)$, як

$$\xi (r)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int dk\,k^{2}P(k)\,{\frac {\sin(kr)}{kr}}$$

n-точкові автокореляційні функції для n більше 2 або функції взаємної кореляції для окремих типів об'єктів визначаються подібно до двоточкової автокореляційної функції.

Кореляційна функція важлива для теоретичних моделей фізичної космології, оскільки вона дає засоби перевірки різних космологічних моделей.

Посилання

• Піблз, PJE 1980, Великомасштабна структура Всесвіту
• Теунс, Фізична космологія