Лема Шеплі — Фолкмана

Лема Шеплі — Фолкмана пов'язує дві операції опуклої геометрії — додавання за Мінковським і опуклу оболонку. Лема має застосування в низці дисциплін, в тому числі в математичній економіці, оптимізації і теорії ймовірностей. Лема і пов'язані з нею результати дозволяють дати ствердну відповідь на питання «Чи близька до стану опуклості сума декількох множин?».

Лема названа на честь Ллойда Шеплі і Джона Фолкмана і була вперше опублікована в роботі економіста Росса Старра. У 2012 році Шеплі нарівні з Елвіном Ротом став лауреатом Нобелівської премії з економіки. Робота Старра, в якій лема була згадана вперше, побачила світ у 1969 році. Тоді економіст співпрацював з відомим американським вченим Кеннетом Ерроу та займався вирішенням питання про існування деяких економічних рівноваг. В роботі Старра проводилося дослідження економіки, в якій деякі геометрично виражені взаємозв'язки, котрі мали властивістю неопуклості, замінялися найближчими опуклими аналогами — опуклими оболонками. Старр довів, що така «овипуклена» економіка має рівноважні стани, вельми близькі до квазірівноваги оригінальної економіки. Більш того, науковець довів, що кожна квазірівновага має низку оптимальних характеристик справжньої рівноваги, які були знайдені в опуклих економіках. Роботи Шеплі, Фолкмана і Старра показали, що основні результати опуклої економічної теорії є хорошими наближениями економіки з неопуклими елементами. Лема дозволяє припустити, що якщо число доданків множин перевершує розмірність векторного простору D, то тоді знаходження опуклих оболонок вимагається лише для D доданків.

Посилання

• Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. (1980) [1971]. General competitive analysis. Advanced Textbooks in Economics. Т. 12 (вид. reprint of San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. Mathematical Economics Texts 6). Amsterdam: North-Holland. ISBN 0-444-85497-5. MR 0439057. {{cite book}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка)
• Artstein, Zvi (1980). Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points. SIAM Review. 22 (2): 172—185. doi:10.1137/1022026. JSTOR 2029960. MR 0564562.
• Carter, Michael (2001). Foundations of mathematical economics. Cambridge, MA: MIT Press. с. xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841. (Author's website with answers to exercises). Архів оригіналу за 15 September 2006.
• Diewert, W. E. (1982). 12 Duality approaches to microeconomic theory. У Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (ред.). Handbook of mathematical economics, Volume II. Handbooks in Economics. Т. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. с. 535—599. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4. ISBN 978-0-444-86127-6. MR 0648778. Архів оригіналу за 10 грудня 2012. Процитовано 19 березня 2019.
• Ekeland, Ivar (1999) [1976]. Appendix I: An a priori estimate in convex programming. У Ekeland, Ivar; Temam, Roger (ред.). Convex analysis and variational problems. Classics in Applied Mathematics. Т. 28 (вид. Corrected reprinting of the North-Holland). Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). с. 357—373. ISBN 0-89871-450-8. MR 1727362.
• Green, Jerry; Heller, Walter P. (1981). 1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics. У Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (ред.). Handbook of mathematical economics, Volume I. Handbooks in Economics. Т. 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. с. 15—52. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9. ISBN 0-444-86126-2. MR 0634800. Архів оригіналу за 17 грудня 2012. Процитовано 19 березня 2019.
• Guesnerie, Roger (1989). First-best allocation of resources with nonconvexities in production. У Cornet, Bernard; Tulkens, Henry (ред.). Contributions to Operations Research and Economics: The twentieth anniversary of CORE (Papers from the symposium held in Louvain-la-Neuve, January 1987). Cambridge, MA: MIT Press. с. 99–143. ISBN 0-262-03149-3. MR 1104662.
• Mas-Colell, A. (1987). Non-convexity. У Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (ред.). The new Palgrave: A dictionary of economics (вид. first). Palgrave Macmillan. с. 653—661. doi:10.1057/9780230226203.3173. (PDF file at Mas-Colell's homepage). Архів оригіналу за 21 листопада 2017. Процитовано 19 березня 2019.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1997). Convex analysis. Princeton Landmarks in Mathematics (вид. Reprint of the 1970 (MR274683) Princeton Mathematical Series 28). Princeton, NJ: Princeton University Press. с. xviii+451. ISBN 0-691-01586-4. MR 1451876.
• Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Т. 44. Cambridge: Cambridge University Press. с. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521.
• Starr, Ross M. (1969), Quasi-equilibria in markets with non-convex preferences (Appendix 2: The Shapley–Folkman theorem, pp. 35–37), Econometrica, 37 (1): 25—38, doi:10.2307/1909201, JSTOR 1909201
• Starr, Ross M. (2008). Shapley–Folkman theorem. У Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (ред.). The new Palgrave dictionary of economics (вид. Second). Palgrave Macmillan. с. 317–318 (1st ed.). doi:10.1057/9780230226203.1518. Архів оригіналу за 16 березня 2017. Процитовано 19 березня 2019.