Многовид Вайтгеда

Перші три повнотори в побудові

Многовид Вайтгеда — приклад відкритого тривимірного многовиду, що є стягуваним, але не гомеоморфним $\mathbb {R} ^{3}$. Генрі Вайтгед знайшов приклад 1935 року намагаючись розв'язати гіпотезу Пуанкаре.

В одновимірному та двовимірному випадках подібних прикладів не існує.

Побудова

Зачеплення Вайтгеда

Для побудови тривимірної сфери вибирається незавузлений повнотор $T_{1}$, далі — другий повнотор $T_{2}$ в $T_{1}$ так, що $T_{2}$ і трубчастий окіл меридіана $T_{1}$ утворюють потовщення зачеплення Вайтгеда. При цьому $T_{2}$ можна стягнути в доповненні меридіана $T_{1}$ і меридіан $T_{1}$ можна стягнути в доповненні $T_{2}$.

Далі будується повнотор $T_{3}$, вкладений у $T_{2}$ таким самим способом, як і $T_{2}$ для $T_{1}$; цю побудову можна продовжити до нескінченності, отримавши послідовність вкладених повнотрів:

$T_{1}\subset T_{2}\subset T_{3}\subset \dots$

Континуум Вайтгеда визначається як перетин побудованих повноторів:

$W=\bigcap _{i}T_{i}$.

Доповнення $W$ в тривимірній сфері і є многовидом Вайтгеда.

Властивості

• Многовид Вайтгеда, $W$не гомеоморфний $\mathbb {R} ^{3}$, але добуток $W\times \mathbb {R}$ гомеоморфний $\mathbb {R} ^{4}$.
• Многовид Вайтгеда містить компактну множину $K$ таку, що для будь-якої іншої компактної множини $K'\supset K$ доповнення $W\backslash K'$ не однозв'язне.

Див. також

• Намисто Антуана

Література

• Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag, 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374) — ISBN 0-387-51148-2.