Многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Многови́д — це об'єкт, який локально має характер евклідового простору розмірності n.


Визначення[ред. | ред. код]

Многовидом над алгебрично замкненим полем є відділювана схема скінченного типу над . Морфізмом многовиів називається їх морфізм як схем над полем . Многовид , який є афінною схемою, називається афінним многовидом. Будь-який многовид має скінченне покриття де - афінні многовиди. З цього слідує, що має скінченну розмірність.

Якщо незвідний, то усі щільні у та Вони є біраціонально ізоморфними, оскільки відкритий й щільний як у та й у Тому поля раціональних функцій є ізоморфними між собою. Ці поля можна ототожнити. Отримане поле називається поем раціональних функцій на й позначається Розмірність многовиду дорівнює степені трансцендентності поля

Топологія на , яка задається структурою схеми, називається спектральною. Для многовиду , визначеного над полем комплексних чисел через позначається множина його замкнених точок. Розгляньмо відкриту у спектральній топології множину скінченне число функцій регулярних на та число Через позначмо множину тих точок для яких

Множина перетворюється на топологічний простір, узявши базис відкритих множин множини Визначена таким чином буде називатися комплексною.

Якщо - замкнена у спектральній топології підмножина, то Таким чином, є замкненою у у комплексній топології, комплексна топологія множини співпадає із її топологію як підпростори у Однак не усяка замкнена у комплексній топології множина має вид , де замкнена у в спектральній топології. Прикладом ємножина точок для яких де - координата на Морфізм алгебричних многовидів визначає неперервне відображення [1]

Многовид (алгебричний) представляється сукупністю точок, яка виражається системою многочленних рівнянь:

де - поле, - многочлени[2]. Вивчення алгебричних рівнянь - стародавня математична наука. Нині мода й зручність диктують звернення до кілець[3].

Властивості[ред. | ред. код]

Многовид має цілочислову розмірність, яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати окіл довільної точки многовида. Ідея многовиду полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: n-вимірний многовид — це Гаусдорфів топологічний простір у якому будь-яка точка x має окіл гомеоморфний відкритій n-вимірній кулі:

Завдання топологічних відображеннь fx, які називаються картами (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури многовида, а сукупність усіх карт називається атласом. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення між досить малими відкритими множинами n-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (x,y)) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з гладким многовидом.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Одновимірний многовид — це крива, наприклад, пряма, коло, еліпс, гіпербола, або парабола. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена дотична, яка неперервно залежить від точки.

Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.

Скінченний циліндр є многовидом з межами.

Додаткові структури на многовидах[ред. | ред. код]

Задання метричного тензора дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати (скалярне поле) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або по об'єму самого многовида.

Інтегрувати векторні та тензорні поля так просто, як скаляр, не можна — через некомутативність паралельного переносу векторів (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в загальній теорії відносності.

Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і -мірні об'єми -мірних підмноговидів (, де  — розмірність многовида). Особливий інтерес становлять підмноговиди мінімального об'єму, зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовида (геодезична лінія).

В околі будь-якої точки многовида можна задати майже декартові координати такі, що початок координат буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб тензор Рімана дорівнював нулю. Якщо тензор Рімана тотожно дорівнює нулю в деякій зв'язній області многовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці ), отже внутрішня геометрія такого многовиду збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовид може бути, наприклад, циліндром).

Розгляд кривини многовида виявляється набагато простішим для гіперповерхонь, коли многовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є двовимірні многовиди в тривимірному просторі.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
  1. И. Р. Шафаревич - Основы алгебраической геометрии, том 2, 2-е изд., 1988. 
  2. W.V.D.Hodge, D.Pedoe - Methods of algebraic geometry, vol.2. 
  3. Ю.И.Манин - Введение в теорию схем и квантовые группы.