В обробці зображень, комп'ютерному зорі та суміжних областях, під моментами зображення розуміються деякі часткові зважені середні інтенсивностей пікселів зображення, які є глобальними дескрипторами зображення. Моменти зображення корисні для опису об'єктів після сегментації.
Для 2D неперервної функції
геометричним моментом порядку (p + q) називається вираз
![{\displaystyle M_{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{p}y^{q}f(x,y)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd837e91c341939056d1f48c66a4d46170f59af0)
для p,q = 0,1,2,...
Для диcкреnного напівтонового зображення з інтенсивністю пікселів
та розміру
, геометричні моменти
обчислюються за формулою
![{\displaystyle M_{ij}=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}x^{i}y^{j}I(x,y)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54beb1aea4be7b8ae855103b1cc916fd5540de3)
Теорема єдиності (Hu [1962]) стверджує, що коли f(x,y) є кусково-неперервною функцією яка приймає ненульові значення в скінченній області площини Oxy, то моменти всіх порядків
існують і однозначно визначаються функцією
. Навпаки, функція
однозначно відновлюється з її моментів
.
Прості властивості зображення виражені в термінах геометричних моментів:
- Площа (для бінарного зображення) або сума рівнів сірого (для напівтонових зображень):
![{\displaystyle M_{00}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e73b7d9853b5c1ec725d38277514d780a02c8a)
- Центр мас зображення:
![{\displaystyle \{{\bar {x}},\ {\bar {y}}\}=\left\{{\frac {M_{10}}{M_{00}}},{\frac {M_{01}}{M_{00}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900cb0605c954a17961360525a87fa6e38569c8b)
Центральний момент визначається як
![{\displaystyle \mu _{pq}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce558736e1d184612633ab799a8d1eb019cc2fba)
де
i
є компонентами центроїда.
Якщо ƒ(x, y) є дискретним зображенням, тоді попереднє рівняння перетворюється у наступне
![{\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{x}\sum _{y}(x-{\bar {x}})^{p}(y-{\bar {y}})^{q}f(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15b5b431c407d27c77e813d1809b888741026412)
Центральніи моменти до третього порядку:
![{\displaystyle \mu _{00}=M_{00},\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29bc1eea562016aaee709cb5b5a4129eb770974)
![{\displaystyle \mu _{01}=0,\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5f2a60da66d17c54e8cf9cb9b7809ed51fac4d)
![{\displaystyle \mu _{10}=0,\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3b4aa7ef452959abf8d6c48a08db70689cc466)
![{\displaystyle \mu _{11}=M_{11}-{\bar {x}}M_{01}=M_{11}-{\bar {y}}M_{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5135b8012bf2f983843947a94f6b62d07eaa26c2)
![{\displaystyle \mu _{20}=M_{20}-{\bar {x}}M_{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954a8e5cb683df0e31f3e504e50a319c0ec6456a)
![{\displaystyle \mu _{02}=M_{02}-{\bar {y}}M_{01},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e183f06a4c10cc44f11db1f2d2f6df0600a11092)
![{\displaystyle \mu _{21}=M_{21}-2{\bar {x}}M_{11}-{\bar {y}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{01},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8baef6dc4ba5f1c93d18f7c1d6b6e5c148adc3cd)
![{\displaystyle \mu _{12}=M_{12}-2{\bar {y}}M_{11}-{\bar {x}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133d195bdceece8e363d9d1a492151d9bb569ade)
![{\displaystyle \mu _{30}=M_{30}-3{\bar {x}}M_{20}+2{\bar {x}}^{2}M_{10},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7190222e251228c760dff60df7a9ae038fd953b)
![{\displaystyle \mu _{03}=M_{03}-3{\bar {y}}M_{02}+2{\bar {y}}^{2}M_{01}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde3b39b8500bf49afd7aa32aa471f3c11ad9257)
Центральні моменти виражаються через геометричні моменти:
![{\displaystyle \mu _{pq}=\sum _{m}^{p}\sum _{n}^{q}{p \choose m}{q \choose n}(-{\bar {x}})^{(p-m)}(-{\bar {y}})^{(q-n)}M_{mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/193aa3aac70646406a9b942b8cc4455d8d8949ec)
Центральні моменти є інваріантами відносно паралельного перенесення.
Інформація про орієнтацію зображення може бути отримана з коваріаційної матриці побудованої з центральних моментів:
![{\displaystyle \mu '_{20}=\mu _{20}/\mu _{00}=M_{20}/M_{00}-{\bar {x}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28979a911223a051a49ff2db57c986328f66a3d)
![{\displaystyle \mu '_{02}=\mu _{02}/\mu _{00}=M_{02}/M_{00}-{\bar {y}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e603311d09dfc007964ab3449312c8c98130ba46)
![{\displaystyle \mu '_{11}=\mu _{11}/\mu _{00}=M_{11}/M_{00}-{\bar {x}}{\bar {y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c875fdb30a0e44a4e74d1fc0a509b1c1899d951b)
Коваріаційна матриця зображення
має вигляд
.
Власні вектори цієї матриці відповідають головній і побічній осям інтенсивності зображення, тому орієнтація може бути отримана з кута власного вектора асоційованого з найбільшим власним значенням у напрямку осі яка найближча до цього власного вектора. Цей кут Θ обчислюється за такою формулою:
![{\displaystyle \Theta ={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2\mu '_{11}}{\mu '_{20}-\mu '_{02}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2343004d84c8b65c4c9f57f361f46dda3db20c)
Наведена формула справедлива тих пір, поки:
![{\displaystyle \mu '_{20}-\mu '_{02}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb25d5da73cfc99f9f7dfc390390677b016a016)
Власні вектори коваріаційної матриці рівні
![{\displaystyle \lambda _{i}={\frac {\mu '_{20}+\mu '_{02}}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4{\mu '}_{11}^{2}+({\mu '}_{20}-{\mu '}_{02})^{2}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ea4d55d6af84598005aa57537f293d4d6e822d)
Моменти добре відомі своїм застосуванням в аналізі зображень, оскільки їх можна використовувати для отримання інваріантів щодо конкретних класів перетворень.
Зауважимо, що детально описані нижче інваріанти є точними інваріантними лише для неперервних зображень. У дискретному випадку ні масштабування, ні повороти не визначені коректно: дискретне зображення, перетворене таким чином, як правило, є наближенням, і задіяні перетворення не є оборотним. Тому ці інваріанти є лише приблизно інваріантними при описі фігури в дискретному зображенні.
Центральні моменти μi j довільного порядку є інваріантами відносно паралельних перенесень, за побудовою.
Інваріанти
відносно як паралельних переносів так і рівномірних розтягів можуть бути побудовані з центральних моментів шляхом ділення на підходящу степінь нульового центрального моменту:
![{\displaystyle \eta _{ij}={\frac {\mu _{ij}}{\mu _{00}^{\left(1+{\frac {i+j}{2}}\right)}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffd35aa5fcf59a18ddcfda9206fa890ce525bf8)
де i + j ≥ 2.
Як показано в статті Hu,[1][2]
інваріанти відносно паралельних переносів, масштабування і поворотів мають вигляд
Ці інваріанти добре відомі як інваріантні моменти Hu.
Перший з них I1, є аналогом моменту інерції відносно центроїда зображення. Останній I7 називається косим інваріантом, який дає змогу розрізняти дзеркальні зображення. Ці інваріанти залежні між собою.
Повна і незалежна множина інваріантів групи повороту вперше побудована
в J. Flusser.[3] Також він довів, що моменти Hu не є повною множиною інваріантів до третього порядку і вони не є незалежними. I3 не дуже корисний оскільки є раціональним дробом від інших інваріантів. Також в оригінальні статті Hu пропущено незалежний інваріант :
![{\displaystyle I_{8}=\eta _{11}[(\eta _{30}+\eta _{12})^{2}-(\eta _{03}+\eta _{21})^{2}]-(\eta _{20}-\eta _{02})(\eta _{30}+\eta _{12})(\eta _{03}+\eta _{21})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5d894bb7212bf14f7072ec55679156c7026cd7)
Л. Бедратюк [4] розглянув питання побудови моментних інваріантів як задачу класичної теорії інваріантів. В статті було введено поняття алгебри 2D моментних інваріантів і показано що ця алгебра ізоморфна класичному об'єкту -- алгебрі спільних
-інваріантів кількох бінарних форм. Також було обчислено мінімальну породжуючу систему алгебри моментних інваріантів і підтверджено результати статті
- ↑ M. K. Hu, "Visual Pattern Recognition by Moment Invariants", IRE Trans. Info. Theory, vol. IT-8, pp.179–187, 1962
- ↑ http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=cvmatchshapes#humoments [Архівовано 24 лютого 2014 у Wayback Machine.] Hu Moments' OpenCV method
- ↑ J. Flusser: "On the Independence of Rotation Moment Invariants [Архівовано 22 грудня 2018 у Wayback Machine.]", Pattern Recognition, vol. 33, pp. 1405–1410, 2000.
- ↑ L.Bedratyuk: "2D Geometric Moment Invariants from the Point of View of the Classical Invariant Theory", Journal of Mathematical Imaging and Vision (2020) 62:1062–1075