Моменти зображення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В обробці зображень, комп'ютерному зорі та суміжних областях, під моментами зображення розуміються деякі часткові зважені середні інтенсивностей пікселів зображення, які є глобальними дескрипторами зображення. Моменти зображення корисні для опису об'єктів після сегментації.

Геометричні моменти

[ред. | ред. код]

Для 2D неперервної функції геометричним моментом порядку (p + q) називається вираз

для p,q = 0,1,2,... Для диcкреnного напівтонового зображення з інтенсивністю пікселів та розміру , геометричні моменти обчислюються за формулою

Теорема єдиності (Hu [1962]) стверджує, що коли f(x,y) є кусково-неперервною функцією яка приймає ненульові значення в скінченній області площини Oxy, то моменти всіх порядків існують і однозначно визначаються функцією . Навпаки, функція однозначно відновлюється з її моментів .

Приклади

[ред. | ред. код]

Прості властивості зображення виражені в термінах геометричних моментів:

  • Площа (для бінарного зображення) або сума рівнів сірого (для напівтонових зображень):
  • Центр мас зображення:

Центральні моменти

[ред. | ред. код]

Центральний момент визначається як

де i є компонентами центроїда.

Якщо ƒ(xy) є дискретним зображенням, тоді попереднє рівняння перетворюється у наступне

Центральніи моменти до третього порядку:

Центральні моменти виражаються через геометричні моменти:

Центральні моменти є інваріантами відносно паралельного перенесення.

Приклади

[ред. | ред. код]

Інформація про орієнтацію зображення може бути отримана з коваріаційної матриці побудованої з центральних моментів:

Коваріаційна матриця зображення має вигляд

.

Власні вектори цієї матриці відповідають головній і побічній осям інтенсивності зображення, тому орієнтація може бути отримана з кута власного вектора асоційованого з найбільшим власним значенням у напрямку осі яка найближча до цього власного вектора. Цей кут Θ обчислюється за такою формулою:

Наведена формула справедлива тих пір, поки:

Власні вектори коваріаційної матриці рівні

Моментні інваріанти

[ред. | ред. код]

Моменти добре відомі своїм застосуванням в аналізі зображень, оскільки їх можна використовувати для отримання інваріантів щодо конкретних класів перетворень.

Зауважимо, що детально описані нижче інваріанти є точними інваріантними лише для неперервних зображень. У дискретному випадку ні масштабування, ні повороти не визначені коректно: дискретне зображення, перетворене таким чином, як правило, є наближенням, і задіяні перетворення не є оборотним. Тому ці інваріанти є лише приблизно інваріантними при описі фігури в дискретному зображенні.


Інваріанти групи паралельних перенесень

[ред. | ред. код]

Центральні моменти μi j довільного порядку є інваріантами відносно паралельних перенесень, за побудовою.

Інваріанти групи рівномірних розтягів

[ред. | ред. код]

Інваріанти відносно як паралельних переносів так і рівномірних розтягів можуть бути побудовані з центральних моментів шляхом ділення на підходящу степінь нульового центрального моменту:

де i + j ≥ 2.


Інваріанти групи поворотів

[ред. | ред. код]

Як показано в статті Hu,[1][2] інваріанти відносно паралельних переносів, масштабування і поворотів мають вигляд


Ці інваріанти добре відомі як інваріантні моменти Hu.

Перший з них I1, є аналогом моменту інерції відносно центроїда зображення. Останній I7 називається косим інваріантом, який дає змогу розрізняти дзеркальні зображення. Ці інваріанти залежні між собою.

Повна і незалежна множина інваріантів групи повороту вперше побудована в J. Flusser.[3] Також він довів, що моменти Hu не є повною множиною інваріантів до третього порядку і вони не є незалежними. I3 не дуже корисний оскільки є раціональним дробом від інших інваріантів. Також в оригінальні статті Hu пропущено незалежний інваріант :

Л. Бедратюк [4] розглянув питання побудови моментних інваріантів як задачу класичної теорії інваріантів. В статті було введено поняття алгебри 2D моментних інваріантів і показано що ця алгебра ізоморфна класичному об'єкту -- алгебрі спільних -інваріантів кількох бінарних форм. Також було обчислено мінімальну породжуючу систему алгебри моментних інваріантів і підтверджено результати статті

Література

[ред. | ред. код]
  1. M. K. Hu, "Visual Pattern Recognition by Moment Invariants", IRE Trans. Info. Theory, vol. IT-8, pp.179–187, 1962
  2. http://docs.opencv.org/modules/imgproc/doc/structural_analysis_and_shape_descriptors.html?highlight=cvmatchshapes#humoments [Архівовано 24 лютого 2014 у Wayback Machine.] Hu Moments' OpenCV method
  3. J. Flusser: "On the Independence of Rotation Moment Invariants [Архівовано 22 грудня 2018 у Wayback Machine.]", Pattern Recognition, vol. 33, pp. 1405–1410, 2000.
  4. L.Bedratyuk: "2D Geometric Moment Invariants from the Point of View of the Classical Invariant Theory", Journal of Mathematical Imaging and Vision (2020) 62:1062–1075