Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Рівняння Слуцького (англ. Slutsky equation ) — рівняння, сенс якого полягає в тому, що зміна попиту на певний товар при підвищенні або зниженні його ціни складається з впливу зміни попиту і непрямого впливу попиту на інші товари. Рівняння показує, що зміна в попиті на i-й товар при зміні ціни j-го товару є результатом двох ефектів: еффекту заміщення і ефекту доходу .
x
i
(
p
,
u
¯
)
=
x
i
(
p
,
e
(
p
,
u
¯
)
)
,
{\displaystyle x_{i}(p,{\bar {u}})=x_{i}(p,e(p,{\bar {u}})),}
∂
x
i
(
p
~
,
I
~
)
∂
p
j
=
∂
x
i
(
p
~
,
u
¯
)
∂
p
j
+
∂
e
(
p
~
,
u
¯
)
∂
p
j
⋅
∂
x
i
(
p
~
,
I
~
)
∂
I
=
∂
x
i
(
p
~
,
u
¯
)
∂
p
j
−
x
j
(
p
~
,
I
~
)
⋅
∂
x
i
(
p
~
,
I
~
)
∂
I
,
{\displaystyle {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial e({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}}={\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\bar {u}})}{\partial p_{j}}}-x_{j}({\tilde {p}},{\tilde {I}})\cdot {\frac {\partial x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}{\partial I}},}
де
p
~
,
I
~
,
u
¯
{\displaystyle {\tilde {p}},{\tilde {I}},{\bar {u}}}
— задані рівні цін, доходу і корисності .
Якщо помножити вихідне рівняння Слуцького на
p
j
{\displaystyle p_{j}}
і поділити
x
i
(
p
~
,
I
~
)
{\displaystyle x_{i}({\tilde {p}},{\tilde {I}})}
, то отримаємо рівняння Слуцького в термінах еластичностей попиту за ціною та доходом:
ε
i
p
j
=
ε
i
p
j
h
+
ε
i
I
⋅
α
i
{\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}=\varepsilon _{ip_{j}}^{h}+\varepsilon _{iI}\cdot \alpha _{i}}
де
ε
i
p
j
{\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}}
— еластичність попиту на i-й товар по ціні j-го
ε
i
p
j
h
{\displaystyle \varepsilon _{ip_{j}}^{h}}
— еластичність компенсованого попиту на i-й товар за ціною j-го (тобто без урахування ефекту доходу)
ε
i
I
{\displaystyle \varepsilon _{iI}}
— еластичність попиту на i-й товар за доходом споживача
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
— частка витрат на покупку i-го товару в доході споживача
Похідні
s
i
j
=
∂
x
i
(
p
,
u
)
∂
p
j
=
∂
x
i
(
p
,
I
)
∂
p
j
+
x
j
(
p
,
I
)
⋅
∂
x
i
(
p
,
I
)
∂
I
{\displaystyle s_{ij}={\frac {\partial x_{i}(p,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial p_{j}}}+x_{j}(p,I)\cdot {\frac {\partial x_{i}(p,I)}{\partial I}}}
можуть бути зведені в матрицю Слуцького коефіцієнту заміщення S (p , I ), що володіє наступними властивостями:
Симетричність :
s
i
j
=
s
j
i
{\displaystyle s_{ij}=s_{ji}}
(випливає з леми Шепарда і теореми Юнга ).
Негативна напіввизначеність;
Рівність нулю при множенні на вектор цін:
S
(
p
,
I
)
p
=
0
{\displaystyle S(p,I)\mathbf {p} =0}
.
Матричне подання корисно тим, що властивості матриці дозволяють не обчислювати безпосередньо всі похідні.