Рівняння Цьопріца

Хвилі, збурені на границі розділу двох середовищ при падінні плоскої поздовжньої хвилі

В геофізиці рівняння Цьопріца (англ. Zoeppritz equations) — система рівнянь, яка описує перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ. Вони були отримані в 1907 році німецьким геофізиком Карлом Бернхардом Цьопріцем (опубліковані в 1919 р. вже після його смерті), і описують в термінах амплітуд зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Кнотта в термінах потенціалів зміщення.

Ця задача була вперше розглянута Джорджем Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Цьопріц в 1907 р.

Рівняння Цьопріца є основою для AVO-аналізу — корисного методу виявлення резервуарів вуглеводнів.

Рівняння Цьопріца для падаючої поздовжньої хвилі

Довільний кут падіння хвилі

Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоска поздовжня хвиля з амплітудою зміщення $A_{0}$ під кутом $\theta _{1}$, відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита ($A_{1},\theta _{1}^{'}$), поперечна відбита ($B_{1},\delta _{1}$), поздовжня заломлена ($A_{2},\theta _{2}$) і поперечна заломлена ($B_{2},\delta _{2}$). Параметри середовища вказані на рисунку: $\sigma$ — густина, $V_{P},V_{S}$ — швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль. Стрілки показують додатні напрямки для амплітуд. Кути на рисунку пов'язані між собою законом Снеліуса:

${\frac {\sin {\theta _{1}}}{V_{P1}}}={\frac {\sin {\theta _{2}}}{V_{P2}}}={\frac {\sin {\delta _{1}}}{V_{S1}}}={\frac {\sin {\delta _{2}}}{V_{S2}}}=p$,

де $p$ є хвильовим параметром.

В цьому випадку система рівнянь Цьопріца матиме наступний вигляд:

$\left\{{\begin{array}{llllllll}A_{1}\cos \theta _{1}&-&B_{1}\sin \delta _{1}&+&A_{2}\cos \theta _{2}&+&B_{2}\sin \delta _{2}&=A_{0}\cos \theta _{1},\\A_{1}\sin \theta _{1}&+&B_{1}\cos \delta _{1}&-&A_{2}\sin \theta _{2}&+&B_{2}\cos \delta _{2}&=-A_{0}\sin \theta _{1},\\A_{1}Z_{1}\cos 2\delta _{1}&-&B_{1}W_{1}\sin 2\delta _{1}&-&A_{2}Z_{2}\cos 2\delta _{2}&-&B_{2}W_{2}\sin 2\delta _{2}&=-A_{0}Z_{1}\cos 2\delta _{1},\\A_{1}{\frac {V_{S1}}{V_{P1}}}W_{1}\sin 2\theta _{1}&+&B_{1}W_{1}\cos 2\delta _{1}&+&A_{2}{\frac {V_{S2}}{V_{P2}}}W_{2}\sin 2\theta _{2}&-&B_{2}W_{2}\cos 2\delta _{2}&=A_{0}{\frac {V_{S1}}{V_{P1}}}W_{1}\sin 2\theta _{1},\end{array}}\right.$

де $Z_{i}=\sigma _{i}V_{Pi}$, $W_{i}=\sigma _{i}V_{Si}$, $i=1,2$.

Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.

Добутки густини на швидкість ($Z_{i}$, $W_{i}$) називаються акустичними жорсткостями.

Нормальне падіння хвилі

Для поздовжньої хвилі при нормальному падінні ($\theta _{1}=0$) відсутні тангенціальні напруження і зміщення. Тому $B_{1}=B_{2}=0$, і рівняння Цьопріца набувають вигляду:

$\left\{{\begin{array}{rrrr}A_{1}&+&A_{2}=&A_{0},\\Z_{1}A_{1}&-&Z_{2}A_{2}=&-Z_{1}A_{0}.\end{array}}\right.$

Розв'язком цих рівнянь відносно коефіцієнтів відбиття (R) та проходження (T) є

${\frac {A_{1}}{A_{0}}}=R_{PP}(0)={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}$,

${\frac {A_{2}}{A_{0}}}=T_{PP}(0)={\frac {2Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}$.

Наближення

Рівняння Цьопріца є достатньо складними, тому часто використовують їх наближені розв'язки у вигляді коефіцієнтів відбиття і проходження як функцій від кута падіння $\theta _{1}$.

Наближення Акі-Річардса

Наближення Акі-Річардса є важливою лінійною апроксимацією рівнянь Цьопріца, яке є справедливим для кутів аж до 40°.

Коефіцієнт відбиття, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:

${\frac {A_{1}}{A_{0}}}=R_{PP}(\theta _{1})={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}-2{\frac {V_{S}^{2}}{V_{P1}^{2}}}{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\sin ^{2}\theta _{1}+{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}{\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}-4{\frac {V_{S}^{2}}{V_{P1}^{2}}}{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\sin ^{2}\theta _{1}$,

Коефіцієнт проходження, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:

${\frac {A_{2}}{A_{0}}}=T_{PP}(\theta _{1})=1-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+\left({\frac {1}{2\cos ^{2}\theta }}-1\right){\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}$,

Коефіцієнт відбиття, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:

${\frac {B_{1}}{A_{0}}}=R_{PS}(\theta _{1})=-{\frac {V_{P}}{2V_{P_{1}}}}{\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \delta }}\left[\left(1-{\frac {2V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}+{\frac {2V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}-\left({\frac {4V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}-{\frac {4V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right]$,

Коефіцієнт проходження, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:

${\frac {B_{2}}{A_{0}}}=T_{PS}(\theta _{1})={\frac {V_{P}}{2V_{P_{1}}}}{\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \delta }}\left[\left(1-{\frac {2V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}-{\frac {2V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}-\left({\frac {4V_{S}^{2}}{V_{P_{1}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{1}+{\frac {4V_{S}}{V_{P}}}\cos \theta \cos \delta \right){\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right]$,

де $\Delta \sigma =\sigma _{2}-\sigma _{1},\sigma ={\frac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{1}),\Delta V_{P}=V_{P2}-V_{P1},V_{P}={\frac {1}{2}}(V_{P2}+V_{P1}),$,

$\Delta V_{S}=V_{S2}-V_{S1},V_{S}={\frac {1}{2}}(V_{S2}+V_{S1}),\theta ={\frac {1}{2}}(\theta _{2}+\theta _{1}),\delta ={\frac {1}{2}}(\delta _{2}+\delta _{1})$.

Для слабо-контрастних відбиваючих границь і малих кутів $\theta _{1}$ справедливими є наступні наближені формули:

$R_{PP}(\theta _{1})={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}+{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}-4\gamma ^{2}\left({\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+2{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right)\right]\theta _{1}^{2}$,

$R_{PS}(\theta _{1})=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\right)+2\gamma \left[{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+2{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right]\theta _{1}$,

де $\gamma ={\frac {V_{S}}{V_{P}}}$.

Наближення Шуей

Тричленне рівняння Шуей для кутів $\theta _{1}$ до 30–40° може бути записане у вигляді:

${\frac {A_{1}}{A_{0}}}=R_{PP}(\theta _{1})=R_{PP}(0)+G\sin ^{2}\theta _{1}+F\left(\operatorname {tg} ^{2}\theta _{1}-\sin ^{2}\theta _{1}\right)$,

де

$R_{PP}(0)={\frac {1}{2}}\left({\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}+{\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}\right)$,

$G={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}-2{\frac {V_{S}^{2}}{V_{P}^{2}}}\left({\frac {\Delta \sigma }{\sigma }}+2{\frac {\Delta V_{S}}{V_{S}}}\right)$,

$F={\frac {1}{2}}{\frac {\Delta V_{P}}{V_{P}}}$.

В цьому рівнянні перший доданок є коефіцієнтом відбиття при нормальному падінні ($\theta _{1}=0$), другий характеризує коефіцієнт відбиття на проміжних кутах, а третій описує підхід до критичного кута.

Для кутів $\theta _{1}$ до 30° можна використовувати двочленне рівняння Шуей:

$R_{PP}(\theta _{1})\approx R_{PP}(0)+G\sin ^{2}\theta _{1}$.

Див. також

• Рівняння Кнотта.
• AVO-аналіз.