Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Вієта

'''Теоре́ма Віє́та'''&nbsp;— формули, названі на честь [[Франсуа Вієт]]а, що виражають коефіцієнти [[многочлен]]а через його [[корінь многочлена|корені]].

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

== Формули ==
Якщо <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math>&nbsp;— корені многочлена <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n</math>
(кожен корінь присутній відповідно до його кратності),<br/>
то коефіцієнти <math>a_1, \ldots, a_n</math> є [[елементарний симетричний многочлен|елементарними симетричними многочленами]] від коренів, а саме:
: <math>\begin{matrix}
a_1 &=& -(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \\ 
a_2 &=& x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n \\ 
a_3 &=& -(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_{n}) \\ 
\cdots & & \cdots \\ 
a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (x_1 x_2 \ldots x_{n-1} + x_1 x_2 \ldots x_{n-2} x_n + \ldots + x_2 x_3...x_n) \\
a_n &=& (-1)^n x_1 x_2 \ldots x_n \end{matrix}.</math>

Іншими словами <math>(-1)^k a_k</math> дорівнює сумі всіх можливих <math>k</math>-добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена <math>a_0 \ne 1</math>, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на <math>a_0</math>.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є [[цілі числа|цілими]], то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

== Доведення ==

Доведення використовує рівність
: <math>x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_n = (x - x_1)(x - x_2) \ldots (x - x_n)</math>.

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях ''x'' повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

== Приклади ==
* Якщо <math>x_1, x_2</math> корені [[квадратне рівняння|квадратного рівняння]] <math>ax^2+bx+c=0</math> то
: <math>x_1 + x_2= \frac{-b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}</math>.

*В частковому випадку при <math>a=1</math> (квадратне рівняння <math>x^2+px+q=0</math>), то
:<math>\ x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 x_2 = q</math>.
----
*Якщо <math>x_1, x_2,x_3</math> корені [[Кубічне рівняння|кубічного рівняння]] <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> то
:<math>x_1 + x_2+x_3= \frac{-b}{a}, \qquad x_1 x_2+x_1x_3+x_2x_3 = \frac{c}{a}, \qquad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}</math>.

*В частковому випадку  (кубічне рівняння <math>x^3+px+q=0</math>), то
:<math>x_1+x_2+x_3= 0, \qquad x_1 x_2+x_1x_3+x_2x_3 = p, \qquad x_1x_2x_3=-q</math>.
----
*Якщо <math>x_1, x_2,x_3,x_4</math> корені [[рівняння четвертого степеня]] <math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0</math> то
:<math>x_1+x_2+x_3+x_4= \frac{-b}{a}, \qquad x_1 x_2+x_1 x_3+x_1 x_4+x_2 x_3+x_2 x_4+x_3 x_4 = \frac{c}{a},</math>
:<math>x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4=-\frac{d}{a}, \qquad x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}</math>.

*В частковому випадку  (рівняння <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>), то
:<math>x_1+x_2+x_3+x_4= 0, \qquad x_1 x_2+x_1 x_3+x_1 x_4+x_2 x_3+x_2 x_4+x_3 x_4 = p,</math>
:<math>x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4=-q, \qquad x_1x_2x_3x_4=r</math>.

== Див. також ==
* [[Основна теорема алгебри]]

== Джерела ==
* {{книга|автор=Курош А. Г. |заголовок=Курс высшей алгебры |місце={{comment|М.|Москва}} |видавництво=Наука |рік=1968 |сторінок=331}}

[[Категорія:Елементарна алгебра]]
[[Категорія:Многочлени]]
[[Категорія:Теореми в алгебрі|Вієта]]