Теорема Вієта

Теоре́ма Віє́та — формули, названі на честь Франсуа Вієта, що виражають коефіцієнти многочлена через його корені.

Ці формули зручно використовувати для перевірки правильності знаходження коренів та для задання многочлена з визначеними властивостями.

Формули

Якщо $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ — корені многочлена $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n}$ (кожен корінь присутній відповідно до його кратності),
то коефіцієнти $a_{1},\ldots ,a_{n}$ є елементарними симетричними многочленами від коренів, а саме:

${\begin{matrix}a_{1}&=&-(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})\\a_{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{n-1}x_{n}\\a_{3}&=&-(x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+\ldots +x_{n-2}x_{n-1}x_{n})\\\cdots &&\cdots \\a_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(x_{1}x_{2}\ldots x_{n-1}+x_{1}x_{2}\ldots x_{n-2}x_{n}+\ldots +x_{2}x_{3}...x_{n})\\a_{n}&=&(-1)^{n}x_{1}x_{2}\ldots x_{n}\end{matrix}}.$

Іншими словами $(-1)^{k}a_{k}$ дорівнює сумі всіх можливих $k$-добутків із коренів.

Якщо старший коефіцієнт многочлена $a_{0}\neq 1$, то для застосування формули Вієта необхідно розділити всі коефіцієнти на $a_{0}$.

Із останньої формули Вієта випливає, що якщо корені многочлена є цілими, то вони є дільниками його вільного члена, який також є цілим.

Доведення

Доведення використовує рівність

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})$.

Права частина представляє многочлен, розкладений на множники.

Після розкриття дужок, коефіцієнти при однакових степенях x повинні бути однаковими в обох частинах рівності, з чого слідують формули Вієта.

Приклади

• Якщо $x_{1},x_{2}$ корені квадратного рівняння $ax^{2}+bx+c=0$ то

$x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$.

• В частковому випадку при $a=1$ (квадратне рівняння $x^{2}+px+q=0$), то

$\ x_{1}+x_{2}=-p,\qquad x_{1}x_{2}=q$.

---

• Якщо $x_{1},x_{2},x_{3}$ корені кубічного рівняння $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ то

$x_{1}+x_{2}+x_{3}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$.

• В частковому випадку (кубічне рівняння $x^{3}+px+q=0$), то

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=p,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}=-q$.

---

• Якщо $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ корені рівняння четвертого степеня $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ то

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}={\frac {-b}{a}},\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}={\frac {c}{a}},$

$x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-{\frac {d}{a}},\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}={\frac {e}{a}}$.

• В частковому випадку (рівняння $x^{4}+px^{2}+qx+r=0$), то

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,\qquad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}=p,$

$x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-q,\qquad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=r$.

Див. також

• Основна теорема алгебри

Джерела

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М. : Наука, 1968. — 331 с.