Теорема Енгеля

Теорема Енгеля — твердження в теорії алгебр Лі щодо еквівалентності різних означень нільпотентності для цих алгебр.

Необхідні означення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k. Якщо ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ — підмножини алгебри, то $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}]$ позначає скінченні суми елементів виду $[X,Y],$ де $X\in {\mathfrak {a}},\;Y\in {\mathfrak {b}}.$

Нижній центральний ряд алгебри Лі вводиться послідовно: ${\mathfrak {g}}^{0}={\mathfrak {g}},\;{\mathfrak {g}}^{i+1}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}^{i}]$.

Якщо ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ — підалгебра Лі, то можна також ввести зростаючі центральні ряди: $C_{\mathfrak {g}}^{0}({\mathfrak {h}})=0,\;C_{\mathfrak {g}}^{i+1}({\mathfrak {h}})=\{Xin{\mathfrak {g}}|[X,{\mathfrak {h}}]\subset C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {h}})\}.$ Для позначення $C_{\mathfrak {g}}^{i+1}({\mathfrak {g}})$ також використовується $C^{i+1}({\mathfrak {g}}).$

Алгебра Лі називається нільпотентною, якщо ${\mathfrak {g}}^{n}=0$ для деякого числа. Еквівалентно, якщо ввести позначення $\operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y],\$ то алгебра Лі буде нільпотентною якщо для деякого натурального числа n і $\forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)$ виконується ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0.

Алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ називається ad-нільпотентною, якщо кожне лінійне відображення $\operatorname {ad} _{X},\;X\in {\mathfrak {g}}$ є нільпотентним.

Твердження теореми

Скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона є ad-нільпотентною.

Доведення

Якщо алгебра Лі є нільпотентною, то існує число n для якого ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0 для всіх $\forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}}.$ Зокрема звідси $(\operatorname {ad} _{X})^{n}=0,\;\forall X\in {\mathfrak {g}}$ і всі оператори $\operatorname {ad} _{X}$ є нільпотентними.

Навпаки, нехай ${\mathfrak {g}}$ — скінченновимірна ad-нільпотентна алгебра Лі. Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли факторалгебра ${\mathfrak {g}}/C({\mathfrak {g}})$ по центру алгебри є нільпотентною. Дійсно ця факторалгебра є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли для деякого n виконується ${\mathfrak {g}}^{n}\subset C({\mathfrak {g}}).$ Але тоді ${\mathfrak {g}}^{n+1}=0.$

Для введених вище зростаючих центральних рядів $C^{1}({\mathfrak {g}})=C({\mathfrak {g}}),$ а $C^{i+1}({\mathfrak {g}})/C^{i}({\mathfrak {g}})$ є центром алгебри ${\mathfrak {g}}/C^{i}({\mathfrak {g}}).$ Тому ${\mathfrak {g}}^{n+1}=0$ тоді і тільки тоді коли $C^{i}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}.$

Якщо для підалгебри ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ усі лінійні оператори $(\operatorname {ad} _{X}),\;X\in {\mathfrak {h}}$ є нільпотентними, то $C_{\mathfrak {g}}^{n}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {g}}.$ З цього твердження для ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ і попереднього критерію нільпотентності випливає теорема Енгеля.

Доведення можна здійснювати по розмірності алгебри ${\mathfrak {h}}$. Для n=1 воно відразу випливає із означення нільпотентності $\operatorname {ad} _{X}$. Нехай розмірність ${\mathfrak {h}}$ є більшою одиниці і ${\mathfrak {j}}$ — її максимальна власна підалгебра Лі. Тоді згідно припущення індукції існує число m для якого $C_{\mathfrak {g}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {g}}$ і $C_{\mathfrak {h}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {h}}.$

Візьмемо таке число j, що $C_{\mathfrak {h}}^{j}({\mathfrak {j}})\subset {\mathfrak {j}}$ але $C_{\mathfrak {h}}^{j+1}({\mathfrak {j}})\not \subset {\mathfrak {j}}.$ Нехай також $X\in C_{\mathfrak {h}}^{j+1}({\mathfrak {j}})-{\mathfrak {j}}.$ Тоді $[X,{\mathfrak {j}}]\subset {\mathfrak {j}}$ і тому $kX\oplus {\mathfrak {j}}$ є підалгеброю у ${\mathfrak {h}}$ і зважаючи на максимальність ${\mathfrak {h}}=kX\oplus {\mathfrak {j}}$ і ${\mathfrak {j}}$ є ідеалом у ${\mathfrak {h}}.$

Далі $[X,C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}})]\subset C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}})$ для всіх i. Справді, очевидно $[X,0]=0$ і якщо твердження справедливе для всіх чисел менше i і $Y\in C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}}),\;H\in {\mathfrak {j}},$ то $[[Y,X],H]=[[Y,H],X]+[Y,[X,H]]\subset [C_{\mathfrak {h}}^{i-1}({\mathfrak {j}}),X]$ і тому $\operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]\subset C_{\mathfrak {g}}^{i}({\mathfrak {j}}).$

Далі, оскільки відображення $\operatorname {ad} _{X}$ є нільпотенним і стабілізує підалгебри послідовності

$0=C_{\mathfrak {g}}^{0}({\mathfrak {j}})\subset \ldots \subset C_{\mathfrak {g}}^{m}({\mathfrak {j}})={\mathfrak {g}}$

то існує подрібнення

$0=B^{0}\subset \ldots \subset B^{n}={\mathfrak {g}}$

для якого $[X,B^{i}]\subset B^{i-1}$ і також $[B^{i},{\mathfrak {j}}]\subset B^{i-1}$.

Звідси $[B^{i},{\mathfrak {h}}]\subset B^{i-1}$ і $C_{\mathfrak {g}}^{n}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {g}}.$

Див. також

• Нільпотентна алгебра Лі

Література

• Winter, David J. (1972), Abstract Lie algebras, The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London, ISBN 978-0-486-46282-0, MR 0332905