Алгебра Лі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Алгебра Лі — векторний простір, на якому визначена операція комутації. Для елементів алгебри визначені лінійні операції — додавання і множення на число (існує дійсна і комплексна алгебри Лі — з множенням відповідно на дійсні та комплексні числа). Операція комутування зіставляє будь-яким двом елементам алгебри третій . Ця операція білінійна (лінійна по кожному з елементів), антисиметрична і задовільняє тотожності Якобі:

.

Поняття алгебри Лі виникло у зв'язку з вивченням груп Лі, оскільки елементи групи Лі можна представляти у вигляді експонент від елементів алегбри Лі (базисні елементи в цьому разі називатимуться генераторами відповідної групи). Якщо група Лі реалізована як група матриць, то відповідна їй алгебра Лі теж є матричною. Це означає, що кожний елемент алгебри є матрицею, а операція комутування визначенна як звичайний комутатор .


Зв'язок між алгебрами Лі й групами Лі[ред. | ред. код]

Нехай - базисні елементи алгебри Лі рангу , так що Тоді

де структурні сталі, антисиметричні по двом нижнім індексам. По однаковим індексам , які зустрічаються знизу та зверху здійснюється сумування від 1 до Точковим представленням алгебри Лі у термінах асоціативної алгебри називається закон, який кожному елементові де - довільні дійсні числа, ставить у відповідність елемент де - так звані генератори представлення алгебри Лі - лінійно незалежні й пов'язані між собою співвідношеннями

При цьому припускається, що містить одиницю та що ряд

збігається за усіх дійсних значень Нехай - квадратна матриця порядку із елементами

яка характеризує Приєднане представлення групи Лі. Якщо - одинична матриця порядку то

Матриці та є невиродженими (тобто зворотними),

так що за малих значень матриці та близькі до одиничної матриці й їх визначники є відмінними від нуля.

Для області значень параметрів , у якій невироджена матриця , мають місце тотожності[1]:

де

Література[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]


  1. Г.А.Зайцев - Алгебраические проблемы математической и теоретической физики.