Теореми Мертенса

Теоремами Мертенса називаються кілька пов'язаних тверджень, щодо властивостей простих чисел доведені у 1874 році польським математиком Францом Мертенсом.

Твердження теорем

Нехай $x$ є дійсним числом і вирази ${\textstyle \sum _{n\leqslant x}}$ і ${\textstyle \sum _{p\leqslant x}}$ позначають суму по всіх натуральних і простих числах, що не перевищують. Тоді виконуються такі рівності (кожну із яких називають теоремою Мертенса):

$(1)\quad \sum _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x\,+\,O(1).$

Тут $\Lambda (n)$ є функцією фон Мангольдта.

$(2)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x\,+\,O(1).$

Більш того ${\textstyle \sum _{p\leqslant n}{\frac {\log p}{p}}-\log n}$ для будь-якого натурального числа $n$ за абсолютним значенням не перевищує 2.

$(3)\quad \int _{1}^{x}{\frac {\psi (t)}{t^{2}}}\mathrm {d} t=\log x\,+\,O(1).$

Тут ${\textstyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{x}\Lambda (n)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\operatorname {log} (p)}$ є функцією Чебишева.

$(4)\quad \sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M\,+\,O\left({\frac {1}{\log x}}\right).$

Константа $M$ називається константою Майсселя — Мертенса і вона є рівною:

$M=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\in \mathbb {P} }^{n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=\gamma +\sum _{p\in \mathbb {P} }\left[\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right]=\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (k).$

де $\gamma =0,5772156649...$ є константою Ейлера — Маскероні.

$(5)\quad \lim _{x\to \infty }\log x\prod _{p\leqslant x}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma }.$

Література

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
• Apostol Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001