Правило Борна

Правило Борна в квантовій механіці визначає ймовірність отримання певного результату при вимірюванні в квантовій системі. Його сформулював 1926 року німецький фізик Макс Борн. У найпростішій формі правило стверджує, що густина ймовірності виявити частинку в певній точці пропорційна квадрату модуля її хвильової функції в цій точці. Правило Борна належить до фундаментальних принципів квантової механіки. Було чимало спроб вивести його з інших припущень квантової механіки, але результати залишаються непереконливими.

Правило

Правило Борна стверджує, що при вимірюванні спостережуваної, якій відповідає ермітів оператор $A$ у системі з нормованою хвильовою функцією $|\psi \rangle$ (дивіться бра-кет нотація)

• результатом буде одне з власних значень $\lambda$ оператора $A$, а
• імовірність отримати певне власне значення дорівнює $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$, де $P_{i}$ — проєкція $A$ на власний простір, що відповідає $\lambda _{i}$.

У разі, коли власний простір $A$, що відповідає $\lambda _{i}$ одновимірний і визначається нормалізованим власним вектором $|\lambda _{i}\rangle$, $P_{i}$ дорівнює $|\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|$, тож імовірність $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ дорівнює $\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle$. Оскільки комплексне число $\langle \lambda _{i}|\psi \rangle$ відоме як амплітуда ймовірності того, що вектор стану $|\psi \rangle$ відповідає воласному вектору $|\lambda _{i}\rangle$, зазвичай правило Борна описують, як твердження, що ймовірність дорівнює квадрату амплітуди (точніше добутку амплітуди на спряжене до неї число). Еквівалентно, ймовірність можна записати як $|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}$.

У разі, коли спектр $A$ не цілком дискретний, спектральна теорема доводить існування певної проективної міри $Q$, що є спектральною мірою $A$. Тоді

• імовірність того. що результат вимірювання належить мірній множині $M$ задається величиною $\langle \psi |Q(M)|\psi \rangle$.

Якщо розглядати хвильову функцію $\psi$ для окремої безструктурної частинки в координатному просторі, це зводиться до твердження, що густина ймовірності $p(x,y,z)$ вимірювання положення в час $t_{0}$ задається виразом

$p(x,y,z)=$$|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.$

Історія

Борн сформулював правило в роботі 1929 року. Роз'язавши рівняння Шредінгера для задачі розсіяння, під впивом роботи Ейнштейна з фотоефекту Він у примітках внизу сторінки, він зробив висновок, що таке правило є єдиним тлумаченням розв'язку. 1954 року, разом із Вальтером Боте, він отримав Нобеліську премію з фізики за цю та інші роботи. Джон фон Нейман обговорює застосування правила Борна в книзі 1932 року.