Метод Бройдена: відмінності між версіями
Створено шляхом перекладу сторінки «Broyden's method» |
(Немає відмінностей)
|
Версія за 09:58, 19 грудня 2023
метод Бройдена - є квазіньютоновим методом для знаходження коренів у k змінних. Вперше він був описаний Ч. Г. Бройденом у 1965 році [1]
Метод Ньютона для вирішення f(x) = 0 використовує обчислення якобіана матриці J, на кожній ітерації. Однак обчислення якобіана є важкою та дорогою операцією. Ідея методу Бройдена в тому, щоб обчислювати весь якобіан лише на першій ітерації та використовувати розв'язок рівняння хорди на інших ітераціях.
У 1979 році Девід М. Гей[en] довів, що коли метод Бройдена застосовується до лінійної системи розміром n × n, він завершується за 2 n кроки[2], хоча, як і всі квазіньютоновські методи, він може не сходитися для нелінійних систем.
Опис методу
Розв’язування рівняння з однією змінною
У методі хорд ми замінюємо першу похідну f′ на xn кінцево-різницевим наближенням:
і діяємо подібно до методу Ньютона :
де n індекс ітерації.
Розв’язування системи нелінійних рівнянь
Розглянемо систему з k нелінійних рівнянь
де f — вектор-функція вектора x :
Для таких задач Бройден дає узагальнення одновимірного методу Ньютона, замінюючи похідну якобіаном J . Матриця Якобі визначається ітеративно на основі рівняння хорди в кінцево-різницевому наближенні:
де n індекс ітерації. Для наочності визначимо:
тому вищезазначене можна переписати як
Наведене вище рівняння є недовизначеним, якщо k більше одиниці. Бройден пропонує використати поточну оцінку матриці Якобі Jn−1 і вдосконалити її, взявши розв'язок рівняння хорди, яке є мінімальною модифікацією Jn−1 :
Це мінімізує наступну норму Фробеніуса :
і ми можемо рухатися подібно до метода Ньютона:
Бройден також запропонував використовувати формулу Шермана-Моррісона для знаходження якобіана зворотної матриці Якобі:
Цей метод широко відомий як «хороший метод Бройдена».
Подібний результат можна отримати, використовуючи трохи іншу модифікацію Jn−1 . Це дає другий метод, так званий «поганий метод Бройдена» (але див. [3] ):
Це мінімізує іншу норму Фробеніуса:
Багато інших квазіньютонівських схем було запропоновано в оптимізації, де шукають максимум або мінімум, знаходячи корінь першої похідної ( градієнт у багатьох вимірах). Якобіан градієнта називається Гессіаном і є симетричним, що додає додаткові обмеження для його оновлення.
Клас методів Бройдена
На додаток до двох методів, описаних вище, Бройден визначив цілий клас споріднених методів. [1] Загалом, методи в класі Бройдена задаються у формі [4]
</br> Інші методи в класі Бройдена були представлені іншими авторами.
- Метод Девідона–Флетчера–Пауелла (DFP) є єдиним членом цього класу, опублікованим до двох методів, визначених Бройденом. [1] Для методу DFP, . [4]
- Алгоритм Шуберта або розріджений Бройдена – модифікація для розріджених матриць Якобі. [5]
- Klement (2014) – використовує менше ітерацій для вирішення багатьох систем рівнянь. [6] [7]
Дивись також
- Метод січної
- Метод Ньютона
- Метод квазіньютона
- Метод Ньютона в оптимізації
- Формула Девідона-Флетчера-Пауелла
- Метод Бройдена–Флетчера–Голдфарба–Шенно (BFGS).
Примітки
- ↑ а б в Broyden, C. G. (October 1965). A Class of Methods for Solving Nonlinear Simultaneous Equations. Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 19 (92): 577—593. doi:10.1090/S0025-5718-1965-0198670-6. JSTOR 2003941. Помилка цитування: Некоректний тег
<ref>
; назва «Broyden 1965» визначена кілька разів з різним вмістом - ↑ Gay, D. M. (August 1979). Some convergence properties of Broyden's method. SIAM Journal on Numerical Analysis. SIAM. 16 (4): 623—630. doi:10.1137/0716047.
- ↑ Kvaalen, Eric (November 1991). A faster Broyden method. BIT Numerical Mathematics. SIAM. 31 (2): 369—372. doi:10.1007/BF01931297.
- ↑ а б Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer New York. doi:10.1007/978-0-387-40065-5. ISBN 978-0-387-30303-1.
Помилка цитування: Некоректний тег
<ref>
; назва «Nocedal 2006» визначена кілька разів з різним вмістом - ↑ Schubert, L. K. (1 січня 1970). Modification of a quasi-Newton method for nonlinear equations with a sparse Jacobian. Mathematics of Computation. 24 (109): 27—30. doi:10.1090/S0025-5718-1970-0258276-9. ISSN 0025-5718.
- ↑ Klement, Jan (23 листопада 2014). On Using Quasi-Newton Algorithms of the Broyden Class for Model-to-Test Correlation. Journal of Aerospace Technology and Management (англ.). 6 (4): 407—414. doi:10.5028/jatm.v6i4.373. ISSN 2175-9146.
- ↑ Broyden class methods – File Exchange – MATLAB Central. www.mathworks.com. Процитовано 4 лютого 2016.
Література
- Dennis, J. E.; Schnabel, Robert B. (1983). Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall. с. 168—193. ISBN 0-13-627216-9.
- Fletcher, R. (1987). Practical Methods of Optimization (вид. Second). New York: John Wiley & Sons. с. 44–79. ISBN 0-471-91547-5.