Бета-функція

Графік бета-функції при дійсних аргументах

У математиці бета-функцією ($\Beta$-функцією, бета-функцією Ейлера чи інтегралом Ейлера I роду) називається наступна спеціальна функція від двох змінних:

$\mathrm{\Beta}(x,y)=\int\limits_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$,

визначена при $\Re(x)>0$, $\Re(y)>0$.

Бета-функція була досліджена Ейлером і Лежандром, а назву їй дав Жак Біне.

Властивості

Бета-функція симетрична відносно перестановки змінних, тобто

$\mathrm{\Beta}(x,y)=\mathrm{\Beta}(y,x)$.

Бета-функцію можна виразити через інші функції:

$\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$,

де $\Gamma(x)$ — Гамма-функція;

$\mathrm{\Beta}(x,\;y)=2\int\limits_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta,\qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0$;

$\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\int\limits_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,\qquad\Re(x)>0,\ \Re(y)>0$;

$\mathrm{\Beta}(x,\;y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}$,

де $(x)_n$ — нижній факторіал, рівний $x\cdot(x-1)\cdot(x-2)\cdot\ldots\cdot(x-n+1)$.

Подібно тому як гама-функція для цілих чисел є узагальненням факторіала, бета-функція є узагальненням біноміальних коефіцієнтів зі зміненими параметрами:

$\mathrm{C}_n^k = \frac1{(n+1)\Beta(n-k+1,\;k+1)}$.

Похідні

Частинні похідні у бета-функції наступні:

${\partial\over\partial x}\Beta(x,\;y)=\Beta(x,\;y)\left( {\Gamma^\prime(x)\over\Gamma(x)}-{\Gamma^\prime(x+y)\over\Gamma(x+y)}\right)=\Beta(x,\;y)(\psi(x)-\psi(x+y))$.

Неповна бета-функція

Неповна бета-функція — це узагальненням бета-функції,що заміняє визначений інтеграл невизначеним:

$\Beta_x(a,\;b)=\int\limits_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$.

При $x=1$ неповна бета-функція збігається з повною.

Регуляризована неповна бета-функція визначається через повну і неповну бета-функції:

$I_x(a,\;b)=\frac{\Beta_x(a,\;b)}{\Beta(a,\;b)}$.

Властивості $I(x)$

$I_0(a,\;b)=0$;

$I_1(a,\;b)=1$;

$I_x(a,\;b)=1-I_{1-x}(b,\;a)$.

Див. також

• Гамма-функція

Джерела

• Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN 966-7893-26-Х .