Спеціальні функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Спеціальні функції — функції, що зустрічаються в різних додатках математики (найчастіше — в різних задачах математичної фізики), які не виражаються через елементарні функції. Спеціальні функції представляються у вигляді рядів або інтегралів.

Спеціальні функції виникають звичайно з таких міркувань:

  • Інтеграли, що не беруться;
  • Розв'язок трансцендентних рівнянь, що не виражаються в елементарних функціях;
  • Розв'язок диференціальних рівнянь, що не виражаються в елементарних функціях;
  • Ряди, що не сходяться до елементарних функцій;
  • Математичний вираз властивостей чисел;
  • Необхідність задання функції з незвичайними властивостями.

Ця поділ не є строгим, оскільки, наприклад, більшість неелементарних розв'язків диференціальних рівнянь вдалося виразити через інтеграли, що не беруться, або у вигляді ряду. Тому не існує строгої класифікації трансцендентних функцій.

Більшість спеціальних функцій є трансцендентними.

Функції-інтеграли[ред.ред. код]

До таких спеціальних функцій відносяться: бета-функція, гамма-функція, інтеграл ймовірності, інтегральний логарифм, інтегральний синус, інтегральний косинус, еліптичні функції.

Функції-ряди[ред.ред. код]

До таких функцій відносяться гіпергеометрична функція, дзета-функція.

Неелементарні розв'язки диференціальних рівнянь[ред.ред. код]

До таких спеціальних функцій відносяться: сферичні функції, циліндричні функції, функції Ейрі, функції параболічного циліндра.

Незвичайні функції[ред.ред. код]

Існує багато функцій з незвичайною поведінкою, вигаданих для різних цілей. Це функція Діріхле, функція Хевісайда.

Функції, що виражають властивості чисел[ред.ред. код]

Ці функції зазвичай пов'язані з найпростішими властивостями чисел. Сюди перш за все можна віднести спеціальні арифметичні функції, модуль, знак числа, факторіал.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
  • Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.

Посилання[ред.ред. код]