Біноміальна модель оцінювання опціонів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В фінансах, біноміальна модель оцінки вартості опціонів дає чисельні методи для оцінки опціонів. Біноміальна модель була вперше запропонована Джоном Коксом, Стефеном Россом та Марком Рубінштейном у 1979 році. По суті модель "дискретно-часову" (граткову) модель зміни ціни базового активу чи інструменту протягом часового інтервалу. Модель отримала назву біноміальної тому, що в кожному періоді в ній передбачається існування тільки двох можливих альтернатив поточної ринкової вартості акції. Формується біноміальне дерево, що наочно ілюструє процес визначення вартості опціону[1].

Модель[ред.ред. код]

В основі біноміальної моделі оцінки опціонів лежить елементарне формування процесу встановлення ціни опціону, за якого актив у будь-який момент часу може рухатися по одній із двох можливих траєкторій. Загальне формулювання процесу обчислення ціни опціону за біноміальною схемою, показано на малюнку і відбувається виконанням трьох кроків:

  1. Генерування дерева-процесу ціни базового активу (зображено на малюнку),
  2. Обчислення вартості опціона в кожному кінцевому вузлі дерева,  C_T=\max\{S_T-K,0\} ,
  3. Рекурентне обчислення вартості опціону для кожного попереднього вузла, C_t, методом знаходження математичного сподівання майбутньої вартості опціону. При цьому важливо використовувати так звану ризик-нейтральну імовірність.

На цьому малюнку S – це ціна акції при виконанні опціону. Ціна може зрости до ціни Su з імовірністю  p або впасти до ціни  S d з імовірністю q= 1-p у будь-який момент часу. При заданій фізичній імовірності і коефіцієнтами зростання і падіння u та d ризик-нейтральна імовірність обчислюється за формулою:

 \tilde{p}=\frac{1+r-d}{u-d}\ \ \ \ \ \ \tilde{q}=\frac{u-1-r}{u-d}

Де r — без ризикова процентна ставка. При цьому зауважте, що для того щоб \tilde{q} і  \tilde{p} були додатними імовірностями має виконуватися умова  0<d<1+r<u, але вона автоматично задовольняється якщо накласти умову відсутності арбітражу[2].

Загальне формулювання шляху зміни ціни в біноміальній моделі

Мета створення імітуючого портфеля використовуючи комбінацію без ризикової позики та базового активу для створення грошового потоку, аналогічного грошовому потоку що створюється оцінюваним опціоном. У цьому випадку застосовуються принцип не арбітражу, і вартість опціону повинна бути рівною вартості портфеля-імітатора. У загальному формулюванні, представленому на рисунку, де ціна акції може рухатися вгору до Su або вниз до Sd в будь-який момент часу, портфель-імітатор для кол-опціону з ціною виконання  K передбачає позику  B одиниць за без ризиковою ставкою і придбання \Delta одиниць базового активу, де

\displaystyle \Delta=\frac{C_u-C_d}{Su-Sd}

 C_u = вартість кол-опціону, якщо ціна акції дорівнює  Su, C_d = вартість кол-опціону, якщо ціна акції дорівнює  Sd.

Рекурентне обчислення[ред.ред. код]

У біноміальному дереві з багатьма періодами оцінка повинна проводитися на рекурентній основі (тобто починаючи із останнього періоду та рухаючись назад у часі до теперішнього моменту). Портфелі, що імітують опціон, створюються для кожного кроку та кожного разу оцінюються, це дає можливість визначити вартість опціону в цей час. Заключний результат біноміальної моделі оцінки опціону – це визначення вартості опціону в одиницях імітуючого портфеля, складеного з акцій базового активу та без ризикової позики.

Формула для рекурентного обчислення вартості опціона:

C_{t-1}(x)=\frac1{1+r}\left(\tilde{p}C_{t}(xu)+\tilde{q}C_t(xd)\right)

де x=\{u,d\}.

Зв'язок моделі з моделлю Блека-Шоулза[ред.ред. код]

Оскільки обидві моделі базуються на тих самих припущеннях, то біноміальна модель є по суті дискретизацією моделі Блека-Шоулза. І, справді у випадку Європейського опціону без дивідендів біноміальна модель прямує до моделі Блека-Шоулза при збільшенні кількості часових інтервалів. Цю збіжність моделі отримують від збіжностей імовірнісних розподілів, що використовуються в кожній з них. Біноміальна модель за розподіл базового активу бере біноміальний розподіл, який при збільшенні кількості спостережень (n\to \infty) прямує до нормального, який є розподілом базового активу в моделі Блека-Шоулза

Джерела[ред.ред. код]

  1. «ІНВЕСТИЦІЙНА ДІЯЛЬНІСТЬ В УКРАЇНІ ТА СВІТІ — Базові моделі вартісної оцінки опціонів». Архів оригіналу за 2013-07-12. Процитовано 2011-02-06. 
  2. Shreve, Steven E. (2000). Stochastic Calculus fo Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer. с. 1–19. ISBN 0-387-40100-8.