Біноміальний розподіл

Біноміальний розподіл
	Функція ймовірностей; ;
	Функція розподілу ймовірностей; ; Кольори співпадають з попереднім малюнком
Параметри	кількість випробувань (ціле); ймовірність успіху (дійсне)
Сапорт
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана	одне із
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо її ймовірність набуття конкретних значень має вигляд: $P(\xi=k)=\begin{cases} 0, & k<0 \\ C_n^k p^k q^{n-k}, & 0\le k\le n \\ 0, & k>n \end{cases}$ , де p, n — параметри, що визначають розподіл, $p\in[0,1], q=1-p, n\in\mathbb{N}$ .

Позначається $\mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p)$ .

[ред.] Пояснення

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, біноміальний розподіл є дискретним ймовірносним розподілом, що характеризує кількість успіхів в послідовності експериментів, значення яких змінюється за принципом так/ні, кожен з яких набуває успіху з ймовірністю p. Такі так/ні експерименти також називаються експериментами Бернулі, або схемою Бернуллі, зокрема, якщо n=1 (кількість випробувань), то отримаємо Розподіл Бернуллі.

[ред.] Числові характеристики

Зважаючи на співвідношення між біноміальним розподілом і розподілом Бернуллі, неведені нижче, а також на властивості математичного сподівання і дисперсії, можна отримати числові характеристики для біноміального розподілу без громіздких обчислень.

Математичне сподівання

$M\xi=M\sum_{i=1}^n\xi_i=\sum_{i=1}^n p=np$ , де $\mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}$ .

Дисперсія

$D\xi=D\sum_{i=1}^n\xi_i=\sum_{i=1}^n pq=npq$ , де $\mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}$ .

[ред.] Зв'язок з іншими розподілами

Нехай незалежні випадкові величини $ξ 1,ξ 2,...,ξ n$ мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто $\mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}$ , тоді випадкова величина $\xi=\sum_{i=1}^n\xi_i$ має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто $\mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p)$ .
Якщо випадкова величина має біноміальний розподіл з першим параметром n=1, то вона є розподіленою за законом Бернуллі.

[ред.] Виноски

↑ Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

[ред.] Дивіться також

У Вікіпедії є портал

«Математика»

[0] Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

[1]

Біноміальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Пояснення

[ред.] Числові характеристики

[ред.] Зв'язок з іншими розподілами

[ред.] Виноски

[ред.] Дивіться також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами

Функція ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей Кольори співпадають з попереднім малюнком
Параметри	$n \geq 0$ кількість випробувань (ціле) $0\leq p \leq 1$ ймовірність успіху (дійсне)
Сапорт	$k \in \{0,\dots,n\}\!$
Розподіл ймовірностей	${n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!$
Середнє	$np\!$
Медіана	одне із $\{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}$ ^[1]
Мода	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!$
Дисперсія	$np(1-p)\!$
Коефіцієнт асиметрії	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!$
Коефіцієнт ексцесу	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!$
Ентропія	$\frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)$
Твірна функція моментів (mgf)	$(1-p + pe^t)^n \!$
Характеристична функція	$(1-p + pe^{it})^n \!$