Біноміальний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Біноміальний розподіл
Функція ймовірностей
Функція ймовірностей біноміального розподілу.
Функція розподілу ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей біноміального розподілу
Кольори збігаються з попереднім малюнком
Параметри n \geq 0 кількість випробувань (ціле)
0\leq p \leq 1 ймовірність успіху (дійсне)
Носій функції k \in \{0,\dots,n\}\!
Розподіл ймовірностей {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
Функція розподілу ймовірностей (cdf) I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Середнє np\!
Медіана одне із \{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lceil np \rceil\}[1]
Мода \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Дисперсія np(1-p)\!
Коефіцієнт асиметрії \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!
Коефіцієнт ексцесу \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!
Ентропія  \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Твірна функція моментів (mgf) (1-p + pe^t)^n \!
Характеристична функція (1-p + pe^{it})^n \!

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо ймовірність набуття нею конкретних значень має вигляд: P(\xi=k) = C_n^k p^k q^{n-k},   k = 0,1,...n , де p, n — параметри, що визначають розподіл, p\in[0,1], q=1-p, n\in\mathbb{N}.

Позначається \mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p).

Пояснення[ред.ред. код]

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, біноміальний розподіл є дискретним ймовірносним розподілом, що характеризує кількість успіхів в послідовності експериментів, значення яких змінюється за принципом так/ні, кожен з яких набуває успіху з ймовірністю p. Такі так/ні експерименти також називаються експериментами Бернулі, або схемою Бернуллі, зокрема, якщо n=1 (кількість випробувань), то отримаємо Розподіл Бернуллі.

Числові характеристики[ред.ред. код]

Зважаючи на співвідношення між біноміальним розподілом і розподілом Бернуллі, неведені нижче, а також на властивості математичного сподівання і дисперсії, можна отримати числові характеристики для біноміального розподілу без громіздких обчислень.

Математичне сподівання

M\xi=M\sum_{i=1}^n\xi_i=\sum_{i=1}^n p=np, де \mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}.

Дисперсія

D\xi=D\sum_{i=1}^n\xi_i=\sum_{i=1}^n pq=npq, де \mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

Виноски[ред.ред. код]

  1. Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

Див. також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний