Властивість подвоєння

Властивість подвоєння — умова, що накладається на міри, визначені на метричних просторах, а також самі метричні простори.

Визначення

Міри

Нагадаємо, що в довільному метричному просторі $B(x,r)$ позначає кулю з центром $x$ та радіусом $r$.

Ненульова міра $\mu$ на метричному просторі задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала $C$ така, що

$0<\mu [B(x,2\cdot r)]\leq C\cdot \mu [B(x,r)]<\infty$

для всіх $x$ і $r>0$.

Метричні простори

Метричний простір $X$ задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала $M$, така, що будь-яку кулю радіуса $r$ у $X$ можна покрити $M$ кулями радіуса $r/2$.

Зауваження

Іноді розглядають слабший варіант властивості подвоєння, за якого потрібно, щоб радіус $r$ не перевищував деякого додатного сталого $r_{0}$.

Властивості

• Будь-який метричний простір із мірою, що задовольняє властивості подвоєння, сам задовольняє властивості подвоєння.
  • І навпаки, на будь-якому повному метричному просторі з властивістю подвоєння існує міра з властивістю подвоєння.
• (Теорема Асада) Нехай метричний простір $(X,d)$ задовольняє властивості подвоєння, тоді для будь-кого $0<\alpha <1$, простір $(X,d^{\alpha })$ допускає біліпшицеве вкладення в евклідів простір досить високої розмірності.
• Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо $X$ — метричний простір із властивістю подвоєння та $A\subset X$ і $V$ — банахів простір, то будь-яке $L$ -ліпшицеве відображення $A\to V$ продовжується до $C\cdot L$-ліпшицевого відображення $X\to V$, де стала $C$ залежить лише від параметра у властивості подвоєння.

Приклади

• Міра Лебега в евклідовому просторі задовольняє якості подвоєння. Стала дорівнює ${\tfrac {1}{2^{m}}}$, де $m$ позначає розмірність.