Міра множини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та n-вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі злічено-адитивна міра.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення[ред.ред. код]

Скінчено-адитивна міра[ред.ред. код]

Нехай задано простір X з виділеним класом підмножин \mathcal{F}, замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

  1. \mu(\varnothing) = 0;
  2. Якщо \{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F} — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із \mathcal{F}, тобто E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j, то

\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n).

Альтернативне визначення[ред.ред. код]

Функція множини \mu(A) називається мірою, якщо:

Система множин \sigma називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношеню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до \sigma множини A та A_1\subset A випливає можливість представлення множини A у вигляді об'єднання A=\bigcup_{k=1}^n A_k, де A_k — попарно неперетинаючихся множини з \sigma, перша з яких є задана множина A_1.

Злічено-адитивна міра[ред.ред. код]

Нехай задано простір X з виділеною σ-алгеброю \mathcal{F}. Функція \mu:\mathcal{F} \to [0,\infty] називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовільняє наступним вимогам:

  1. \mu(\varnothing) = 0;
  2. (σ-адитивність) Якщо \{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F} — злічене сімейство попарно не перетинаючихся множин з \mathcal{F}, тобто E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j, то
\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n).

Продовження міри[ред.ред. код]

Міра \mu називається продовженням міри m, якщо \mathcal{F}_m \sub \mathcal{F}_\mu і для кожної A \in \mathcal{F}_m виконується рівність:

\mu (A) = m (A)

При цьому, для кожної міри m(A), заданої на деякому напівкільці \mathcal{F}_m існує єдине продовження m'(A), що має в якості області визначення кільце \mathcal{R}(\mathcal{F}_m) (тобто, мінімальне кільце над \mathcal{F}_m).

Примітки[ред.ред. код]

  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто \mu(X) < \infty, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352. 
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. с. 251. 

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]