Міра множини

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та $n$-вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі злічено-адитивна міра.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

Скінчено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеним класом підмножин $\mathcal{F}$, замкненим відносно скінчених перетинів та об'єднань. Функція $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

1. $\mu(\varnothing) = 0$;
2. Якщо $\{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F}$ — скінчене сімейство попарно не перетинаючихся множин із $\mathcal{F}$, тобто $E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j$, то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n)$.

Альтернативне визначення

Функція множини $\mu(A)$ називається мірою, якщо:

• область визначення $\sigma_\mu$ функції $\mu (A)$ є напівкільце множин.
• значення $\mu(A)\geq 0$
• $\mu(A)$ — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу $A=A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, $A_i\cap A_j = \varnothing$

  буде виконуватись рівність

  $\mu(A)=\sum_{k=1}^n \mu(A_k)$

Система множин $\sigma$ називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношеню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до $\sigma$ множини $A$ та $A_1\subset A$ випливає можливість представлення множини $A$ у вигляді об'єднання $A=\bigcup_{k=1}^n A_k$, де $A_k$ — попарно неперетинаючихся множини з $\sigma$, перша з яких є задана множина $A_1$.

Злічено-адитивна міра

Нехай задано простір $X$ з виділеною σ-алгеброю $\mathcal{F}$. Функція $\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]$ називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовільняє наступним вимогам:

1. $\mu(\varnothing) = 0$;
2. (σ-адитивність) Якщо $\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F}$ — злічене сімейство попарно не перетинаючихся множин з $\mathcal{F}$, тобто $E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j$, то

$\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)$.

Продовження міри

Міра $\mu$ називається продовженням міри $m$, якщо $\mathcal{F}_m \sub \mathcal{F}_\mu$ і для кожної $A \in \mathcal{F}_m$ виконується рівність:

$\mu (A) = m (A)$

При цьому, для кожної міри $m(A)$, заданої на деякому напівкільці $\mathcal{F}_m$ існує єдине продовження $m'(A)$, що має в якості області визначення кільце $\mathcal{R}(\mathcal{F}_m)$ (тобто, мінімальне кільце над $\mathcal{F}_m$).

Примітки

• Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
• Якщо міра всього простору скінчена, тобто $\mu(X) < \infty$, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
• На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.

Приклади

• Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри;
• Міра Лебега — приклад нескінченої міри;
• Ймовірність — приклад скінченої міри.

Література

• Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352. 
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. с. 251. 

Див. також

• Метричний простір
• Вимірна множина

Посилання

• Використано матеріали зі статті в російській Вікіпедії.
• Використано матеріали зі статті в англійській Вікіпедії.