Опукла гра

Гра опукла — безкоаліційна гра з n гравцями, в якій хоча б у одного гравця множина чистих стратегій є опуклою підмножиною лінійного простору, а його функція виграшу при будь-яких фіксованих стратегіях решти гравців опукла на цій підмножині.

Властивості опуклих ігор

Якщо множина чистих стратегій кожного гравця в опуклій грі компактно, а функції виграшу неперервні, то існує ситуація рівноваги, при якій гравці, які мають опуклі функції виграшу, використовують чисті стратегії.

Опукла гра називається скінченною, якщо для кожного гравця множина його чистих стратегій є компактною підмножиною деякого скінченновимірного лінійного простору, а функції виграшу всіх гравців полілінійні. Зокрема, скінченна антагоністична опукла гра задається трійкою <A, B, H>, де A ⊂ E^m, B ⊂ Eⁿ, а функція H має вигляд:

$H(r,s)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}r_{i}s_{j},\quad r\in A,s\in B$.

Якщо μ та ν — розмірності множини оптимальних стратегій гравців A та B, а ρ — ранг матриці ||a_ij||, то μ + ν ≤ m + n - ρ.

Приклад опуклої гри

Прикладом опуклої гри є антагоністична гра на одиничному квадраті, в якій, при будь-яких стратегіях першого гравця функція виграшу опукла на множині чистих стратегій другого гравця. В цьому випадку другий гравець має чисту оптимальну стратегію, а перший — оптимальну стратегію, яка є сумішшю не більш ніж двох чистих.

Джерела інформації

• Енциклопедія кібернетики, Дюбін Г. Н., т. 1, с. 336.

Див. також

• Опукла множина