Опукла множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Опукла множина

Опуклою множиною в евклідовому або афінному просторі називається така множина, яка разом з довільними двома точками, що належать множині, має у собі відрізок, що їх з'єднує[1].

Визначення[ред.ред. код]

  • Іншими словами, множина  X\subset \R^n називається опуклою, якщо для точок x_1, x_2 \in X, що задаються радіус-векторами \vec r_1, \vec r_2, точка:
\alpha \vec r_1 + (1 - \alpha) \vec r_2 \in X, \, \alpha \in [0, 1].
  • Тобто, множина X разом з будь якими двома точками \ x_1, x_2, які належать цій множині, містить відрізок, який їх з'єднує:
 [x_1, x_2] = \left\{x\colon\, x = \vec r_1 + \alpha (\vec r_2 - \vec r_1),\, \alpha \in [0, 1]\right\} .

Приклади[ред.ред. код]

У просторі \R^1 опуклими множинами будуть точка, відрізок, інтервал, промінь, пряма.

У просторі \R^n опуклим буде сам простір, будь який його лінійний підпростір, куля, опуклі множини просторів меншої вимірності. Також, опуклими будуть такі множини:

  • пряма l_{x_0 h}, що проходить через точку x_0 в напрямку вектора h:
 l_{\mathbf x_0 h} = \left\{x \in \R^n:\, x = x_0 + \alpha h, \alpha \in \R^n \right\} ;
  • промінь  l_{x_0 h}+, який виходить із точки x_0 в напрямку вектора h:
 l_{\mathbf X 0h}^{+} = \left\{x \in \R^n:\, x = x_0 + \alpha h,\, \alpha \geqslant 0 \right\} ;
 \mathrm H_{p\beta} = \left\{ x \in \R^n:\, (p, x) = \beta \right\};
 \mathrm H_{p\beta}^{+} = \left\{ x \in \R^n:\, (p, x) \geqslant \beta \right\} ,
 \mathrm H_{p\beta}^{-} = \left\{ x \in \R^n:\, (p, x) \leqslant \beta \right\} .

Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.

Чотирикутник на площині може бути опуклим і неопуклим.

Властивості опуклих множин[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. Аналітична геометрія : Навч.посібник для студ.мат.спец.ун-тів : пер. с рус. / О. А. Борисенко, Л.М. Ушакова ; Пер. Г.Ч. Курінний . – Харків : Основа, 1993 . – 192 с.

Література[ред.ред. код]

  • Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3..