Опукла множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Опукла множина

Опукла множина — підмножина евклідового простору яка містить відрізок, який з'єднує будь які дві точки цієї множини.

[ред.] Визначення

Іншими словами, множина $X\in \mathbf R^n$ називається опуклою, якщо:

$\alpha x_1 + (1 - \alpha) x_2 \in X, \quad \forall x_1, x_2 \in X, \, \alpha \in [0, 1].$

Тобто, якщо множина $X$ разом з будь якими двома точками $x 1, x 2$ , які належать цій множині, містить відрізок, який їх з'єднує:

$[x_1, x_2] = \left\{x:\, x = x_2 + \alpha (x_1 - x_2),\, \alpha \in [0, 1]\right\}$ .

У просторі $\mathbf R^1$ опуклими множинами будуть пряма, напівпряма, відрізок, інтервал, одноточкова множина.

У просторі $\mathbf R^n$ опуклим буде сам простір, будь який його лінійний підпростір, куля, відрізок, одноточкова множина. Також, опуклими будуть такі множини:

пряма $l_{x_0 h}$ , що проходить через точку $x 0$ в напрямку вектора $h$ :

$l_{\mathbf x_0 h} = \left\{x \in \mathbf R^n:\, x = x_0 + \alpha h, \alpha \in \mathbf R^n \right\}$ ;

промінь $l_{x_0 h}+$ , який виходить із точки $x 0$ в напрямку вектора $h$ :

$l_{\mathbf X 0h}^{+} = \left\{x \in \mathbf R^n:\, x = x_0 + \alpha h,\, \alpha \ge 0 \right\}$ ;

гіперплощина H_pβ з нормаллю p:

$\mathrm H_{p\beta} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) = \beta \right\}$ ;

півпростори на які гіперплощина поділяє простір:

$\mathrm H_{p\beta}^{+} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) \ge \beta \right\}$ ,

$\mathrm H_{p\beta}^{-} = \left\{ x \in \mathbf R^n:\, (p, x) \le \beta \right\}$ .

Всі перелічені множини (крім кулі) є частковими випадками опуклої множини поліедру.

[ред.] Властивості опуклих множин

Перетин опуклих множин є опуклим.
лінійна комбінація точок опуклої множини опукла.
опукла множина містить будь яку опуклу комбінацію своїх точок.
будь яку точку n-вимірного евклідового простору з опуклої оболонки множини можна представити як опуклу комбінацію не більш ніж n+1 точок цієї множини.