Експоненційний об'єкт

Експоненційний об'єкт — теоретико категорний аналог множини функцій у теорія множин. Категорії, в яких існують скінченні границі і експоненціали, називаються декартово замкнутими.

Означення

Нехай в категорії $C$ існують бінарні добутки. Тоді експоненціал $Z^{Y}$ за означенням є універсальним морфізмом з функтора $[-]\times Y$ у $Z$. (Функтор $[-]\times Y$ з $C$ у $C$ відображає об'єкт $X$ в $X\times Y$ і морфізми $\varphi$ у $\varphi \times \mathrm {id} _{Y}$).

Іншими словами експоненціал $Z^{Y}$ об'єктів $Z$ і $Y$ категорії $C$ є об'єктом, разом з морфізмом $eval\colon Z^{Y}\times Y\to Z$, що називається відображенням оцінки такими, що для будь-якого об'єкта $X$ і морфізма $g\colon X\times Y\to Z$ існує єдиний морфізм $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$, для якого діаграма нижче є комутативною:

Universal property of the exponential object

Якщо експоненціал $Z^{Y}$ існує для всіх $Z$ у $C$, то функтор, що відправляє $Z$ у $Z^{Y}$ є правим спряженим до $[-]\times Y$. У цьому випадку існує натуральна бієкція:

$\mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})$.

Приклади

• У категорії множин експоненціал $Z^{Y}$ це множина всіх функцій з $Y$ у $Z$. Для будь-якого відображення $g\colon (X\times Y)\rightarrow Z$ відображення $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ задається як:

$\lambda g(x)(y)=g(x,y)$.

• У категорії топологічних просторів експоненціал $Z^{Y}$ існує, якщо $Y$ — локально компактний гаусдорфів простір. В цьому випадку $Z^{Y}$ - множина неперервних функцій з $Y$ у $Z$ з компактно-відкритою топологією. Якщо $Y$ не є локально компактним гаусдорфовим простором, то експоненціал може не існувати (простір $Z^{Y}$ буде існувати, але відображення $\lambda$ може не бути неперервним). З цієї причини категорія топологічних просторів не є декартово замкнутою.

Література

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006) [1990]. Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats). John Wiley & Sons. Архів оригіналу за 16 лютого 2020. Процитовано 13 березня 2020.
• Awodey, Steve (2010). Chapter 6: Exponentials. Category theory. Oxford New York: Oxford University Press. ISBN 978-0199237180.