Гаусдорфів простір

Гаусдорфовим простором називаються топологічний простір, що задовольняє сильній аксіомі віддільності. Названий на честь Ф. Гаусдорфа, одного з основоположників загальної топології. Його первинне визначення топологічного простору включало вимогу, яка тепер називається гаусдорфістю. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін гаусдорфова топологія.

Визначення

Топологічний простір X називається гаусдорфовим, якщо будь-які дві різні точки x, у з X мають околи U(x), V(y), що не перетинаються ($U(x) \cap V(y) = \empty$).

Приклади і контрприклади

Є гаусдорфовими:

• всі метричні простори і метризовані простори, зокрема:
  • евклідови простори $\mathbb{R}^n$
  • многовиди
  • більшість нескінченомірних функціональних просторів, що вивчає аналіз, таких як $L^p$ або $W^{1,\;p}$, $p\ge 1$.
• За визначенням, топологічні групи є гаусдорфовими.

Не є гаусдорфовими, наприклад:

• топологія Зариського на алгебраїчному многовиді.
• Негаусдорфів, взагалі кажучи, спектр кільця.

Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору — зв'язна двоточка, а в загальнішому випадку — алгебра Гейтінга.

Властивості

• Єдиність границі послідовності (у загальнішому випадку — фільтру), якщо така границя існує.
• Властивість, рівносильна визначенню гаусдорфості топології, — замкнутість діагоналі $\Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ в декартовому квадраті $X\times X$ простору $X$.
• У гаусдорфовому просторі замкнуті всі його точки (тобто одноточечні множини).
• Підпростір і декартовий добуток гаусдорфових просторів теж гаусдорфові.
• Взагалі кажучи, гаусдорфість не передається факторпросторам.

Див. також

• Зв'язаний простір

Джерела

• Александров П.С. (1977). Введение в теорию множеств и общую топологию. Москва: Наука. с. 368. ISBN 5354008220.