Гаусдорфів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

У розділі математики під назвою: загальна топологія гаусдорфовим простором називаються топологічний простір, що задовольняє сильній аксіомі віддільності. Названі на честь Ф. Гаусдорфа, одного з основоположників загальної топології. Його первинне визначення топологічного простору включало вимогу, яка тепер називається гаусдорфістю. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін гаусдорфова топологія.

[ред.] Визначення

Топологічний простір X називається гаусдорфовим, якщо будь-які дві різні точки x, у з X мають околи U(x), V(y), що не перетинаються ( $U(x) \cap V(y) = \empty$ ).

[ред.] Приклади і контрприклади

Є гаусдорфовими:

всі метричні простори і метризовані простори, зокрема:
- евклідови простори $\mathbb{R}^n$
- многовиди
- більшість нескінченомірних функціональних просторів, що вивчає аналіз, таких як $L p$ або $W^{1,\;p}$ , $p\ge 1$ .
За визначенням, топологічні групи є гаусдорфовими.

Не є гаусдорфовими, наприклад:

топологія Зариського на алгебраїчному многовиді.
Негаусдорфів, взагалі кажучи, спектр кільця.

Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору — зв'язна двоточка, а в більш загальному випадку — алгебра Гейтінга.

[ред.] Властивості

Єдиність границі послідовності (у більш загальному випадку — фільтру), якщо така границя існує.
Властивість, рівносильна визначенню гаусдорфості топології, — замкнутість діагоналі $\Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}$ в декартовому квадраті $X\times X$ простору $X$ .
У гаусдорфовому просторі замкнуті всі його точки (тобто одноточечні множини).
Підпростір і декартовий добуток гаусдорфових просторів теж гаусдорфові.
Взагалі кажучи, гаусдорфість не передається факторпросторам.