Гаусдорфів простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гаусдорфовим простором називаються топологічний простір, що задовольняє сильній аксіомі віддільності. Названий на честь Ф. Гаусдорфа, одного з основоположників загальної топології. Його первинне визначення топологічного простору включало вимогу, яка тепер називається гаусдорфістю. Іноді для позначення структури гаусдорфового топологічного простору на множині застосовується термін гаусдорфова топологія.

Визначення[ред.ред. код]

Топологічний простір X називається гаусдорфовим, якщо будь-які дві різні точки x, у з X мають околи U(x), V(y), що не перетинаються ( U(x) \cap V(y) = \empty ).

Приклади і контрприклади[ред.ред. код]

Є гаусдорфовими:

Не є гаусдорфовими, наприклад:

Простий (і важливий) приклад негаусдорфового простору — зв'язна двоточка, а в загальнішому випадку — алгебра Гейтінга.

Властивості[ред.ред. код]

  • Єдиність границі послідовності (у загальнішому випадку — фільтру), якщо така границя існує.
  • Властивість, рівносильна визначенню гаусдорфості топології, — замкнутість діагоналі \Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\} в декартовому квадраті X\times X простору X.
  • У гаусдорфовому просторі замкнуті всі його точки (тобто одноточечні множини).
  • Підпростір і декартовий добуток гаусдорфових просторів теж гаусдорфові.
  • Взагалі кажучи, гаусдорфість не передається факторпросторам.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]