Теорія категорій

Теорія категорій — розділ математики, що вивчає властивості відношень між математичними структурами, не залежно від внутрішньої будови структур; абстрагується від множин та функцій до діаграм, де об'єкти зв'язані морфізмами (стрілками).

Теорія категорій займає центральне місце в сучасній математиці, вона також знайшла застосування в інформатиці і в теоретичній фізиці. Сучасне викладання алгебраїчної геометрії та гомологічної алгебри базується на теорії категорії. Поняття теорії категорій використовуються в мові функціонального програмування Haskell.

Історія

Поняття категорія було введено в 1945 році. Своїм походженням і первинними стимулами розвитку теорія категорій зобов'язана алгебраїчній топології. Подальші дослідження виявили об'єднуючу і уніфікуючу роль поняття категорія і пов'язаного з ним поняття функтора для багатьох розділів математики.

Теоретико-категорний аналіз основ теорії гомології привів до виділення у середині 50-х рр. 20 ст. так званих абелевих категорій, в рамках яких виявилося можливим здійснити основні побудови гомологічної алгебри. У 60-і рр. 20 ст. визначився зростаючий інтерес до неабелевих категорій, викликаний задачами логіки, загальної алгебри, топології і алгебраїчної геометрії. Інтенсивний розвиток універсальної алгебри і аксіоматична побудова теорії гомотопій поклали початок різним напрямам досліджень: категорному вивченню многовидів універсальної алгебри, теорії ізоморфізмів прямих розкладів, теорії зв'язаних функторів і теорії двоїстості функторів. Подальший розвиток виявив істотний взаємозвязок між цими дослідженнями. Завдяки виникненню теорії відносних категорій, що широко використовує техніку зв'язаних функторів і замкнутих категорій, була встановлена двоїстість між теорією гомотопій і теорією універсальних алгебр, заснована на інтерпретації категорних визначень моноїда і комоноїда у відповідних функторів. Інший спосіб введення додаткових структур в категоріях пов'язаний із заданням в категоріях топології і побудові категорії пучків над топологічною категорією (так зв. топоси).

Визначення

Категорія

Категорія $\mathcal{C}$ складається з класу $Ob_{\mathcal{C}}$, елементи якого називаються об'єктами категорії, та класу $Mor_{\mathcal{C}}$, елементи якого називаються морфізмами категорії. Ці класи повинні задовольняти наступним умовам:

1. Кожній впорядкованій парі об'єктів А, В зіставлено клас $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$; якщо $f\in \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$, то А називається початком, або областю визначення морфізму f, а В — кінець, або область значень f.
2. Кожен морфізм категорії належить одному і лише одному класу $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$.
3. У класі $Mor_{\mathcal{C}}$ заданий частковий закон множення: добуток морфізмів $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ і $g\in \mathrm{Hom}(C,D)$ визначено тоді і тільки тоді, коли В=С, і належить класу $\mathrm{Hom}(A,D)$. Добуток f і g позначається $g\circ f$.
4. Справедливий закон асоціативності: $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$ для будь яких морфізмів для яких дані добутки визначені.
5. У кожному класі $\mathrm{Hom}(A, A)$ визначений такий морфізм $id_A$, що $f\circ id_A = id_B\circ f = f$ для $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$; морфізми $id_A$ називаються одиничними, тотожними, або одиницями.

Замітка: клас об'єктів звичайно не є множиною в сенсі аксіоматичної теорії множин. Категорія, в якій об'єкти складають множину, називається малою. Крім того, у принципі можливо (з невеликим виправленням визначення) розглядати категорії, в яких морфізми між будь-якими двома об'єктами також утворюють клас, або навіть велику структуру.

Приклади категорій

• Set — категорія множин. Об'єктами є множини, морфізмами — відображення множин, а множення збігається з послідовним виконанням відображень.
• Top — категорія топологічних просторів. Об'єктамиє є топологічні простори, морфізмами — всі неперервні відображеня топологічних просторів, а множення знову збігається з послідовним виконанням відображень.
• Group — категорія груп. Об'єктами є групи, морфізмами — всі гомоморфізмів груп, а множення збігається з послідовним виконанням гомоморфізмів. За аналогією можна ввести категорію кілець і т. д.
• Vect_K — категорія векторних просторів над полем K. Морфізми — лінійні відображення векторних просторів.
• Rel — категорія бінарних відношень множини; клас об'єктів цієї категорії збігається з класом об'єктів Set, а морфізмами множини А в множину В є бінарні відношення цих множин, тобто всілякі підмножини декартового добутку А×В; множення збігається з множенням бінарних відношень.
• Моноїд є категорією з одним об'єктом, навпаки, кожна категорія, що складається з одного об'єкта, є моноїдом.
• Для будь-якої частково впорядкованої множини можна побудувати малу категорію, об'єктами якої є елементи множини, причому між елементами x і y існує єдиний морфізм тоді і тільки тоді, коли x≤y (зрозуміло, слід відрізняти цю категорію від категорії частково впорядкованих множин).

Всі перераховані вище категорії допускають ізоморфне вкладення в категорію множин. Категорії, з такою властивістю, називаються конкретними. Не всяка категорія є конкретною, наприклад категорія, об'єктами якої є всі топологічні простори, а морфізмами — класи гомотопних відображень.

Комутативні діаграми

Стандартним способом опису тверджень теорії категорій є комутативні діаграми. Комутативна діаграма — це орієнтований граф, у вершинах якого знаходяться об'єкти, а стрілками є морфізми або функтори, причому результат композиції стрілок не залежить від вибраного шляху. Наприклад, аксіоми теорії категорій можна записати за допомогою діаграм:

Категорія з об'єктами X, Y, Z та морфізмами f, g

Двоїстість

Для категорії $\mathcal{C}$ можна визначити двоїсту категорію $\mathcal{C}^{op}$, у якій:

• об'єкти збігаються з об'єктами початкової категорії;
• морфізми одержуються «обертанням стрілок»: $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$

Взагалі, для будь-якого твердження теорії категорій можна сформулювати подвійне твердження за допомогою звернення стрілок. Часто подвійне явище позначається тим же терміном з приставкою ко- (див. приклади далі).

Справедливий так принцип двоїстості: твердження р істинно в теорії категорій тоді і тільки тоді, коли в цій теорії істинно двоїсте твердження р^*. Багато понять і результатів в математиці виявилися двоїстими один одному з точки зору понять теорії категорій: ін'єктивність і сюр'єктивність, многовиди і радикали в алгебрі і т. д.

Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм

Морфізм $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ називається ізоморфізмом, якщо існує такий морфізм $g \in \mathrm{Hom}(B,A)$, що $g\circ f = id_A$ та $f\circ g = id_B$. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Зокрема, тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Безліч ендоморфізмів $\ \mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A, A)$ є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом $\ id_A$.

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаються автоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів $\ \mathrm{Aut}(A)$ по композиції.

Мономорфізм, епіморфізм, біморфізм

Мономорфізм — це морфізм $f\in \mathrm{Hom}(A,B)$ такий, що для будь-яких $g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A)$ з $f\circ g_1 = f\circ g_2$ випливає, що $\ g_1=g_2$. Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

Епіморфізм — це такий морфізм, що для будь-яких $g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X)$ з $g_1\circ f = g_2\circ f$ слідує $\ g_1=g_2$.

Біморфізм — це морфізм, що є одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізмом, але не будь-який біморфізм є ізоморфізмом.

Мономорфізм, епіморфізм і біморфізм є узагальненнями понять ін'єктивного, сюр'єктивного і бієктивного відображення відповідно. Будь-який ізоморфізм є мономорфізмом і епіморфізмом, зворотне, взагалі кажучи, вірно не для всіх категорій.

Ініціальний і термінальний об'єкти

Ініціальний (початковий, універсально відштовхуючий) об'єкт категорії — це такий об'єкт, з якого існує єдиний морфізм в будь-який інший об'єкт.

Якщо ініціальні об'єкти в категорії існують, то всі вони ізоморфні.

Двоїстим чином визначається термінальний об'єкт — це такий об'єкт, в який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Приклад: У категорії Set ініціальним об'єктом є порожня множина $\empty$, термінальним - множина з одного елементу $\{\cdot\}$.

Приклад: У категорії Group ініціальний і термінальний об'єкт збігаються — це група з одного елементу.

Добуток і сума об'єктів

Добуток об'єктів A і B — це об'єкт $A\times B$ з морфізмами $p_1: A\times B\to A$ і $p_2: A\times B \to B$ такими, що для будь-якого об'єкта $C$ з морфізмами $f_1: C\to A$ і $f_2: C\to B$ існує єдиний морфізм $g: C \to A\times B$ такий, що $g \circ p_1 =f_1, \quad g \circ p_2 =f_2$. Морфізми $p_1: A\times B\to A$ і $p_2: A\times B \to B$ називаються проекціями.

Дуально визначається пряма сума або кодобуток $A+B$ об'єктів $A$ і $B$. Відповідні морфізми $\imath_A: A\to A+B$ і $\imath_B: B \to A+B$ називаються вкладеннями. Не зважаючи на свою назву, в загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.

Якщо добуток і кодобуток існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Приклади

• У категорії Set прямий добуток A і B — це добуток в сенсі теорії множин $A\times B$, а пряма сума — диз'юнктне об'єднання $A \sqcup B$.
• У категорії Ring пряма сума — це тензорний добуток $A\otimes B$, а прямий добуток - сума кілець $A\oplus B$.
• У категорії Vect_K прямий добуток і пряма сума ізоморфні - це сума векторних просторів $A\oplus B$.

Функтори

Функтори — відображення категорій, що зберігають структуру. Точніше

(Коваріантний) функтор $\mathcal{F}: \mathcal{C}to \mathcal{D}$ ставить у відповідність кожному об'єктові категорії $\mathcal{C}$ об'єкт категорії $\mathcal{D}$ і кожному морфізму $f: A\to B$ морфізм $F(f): F(A)\to F(B)$ так, що

• $F(id_A) = id_{F(A)}\,$ і
• $F(g)\circ F(f)= F(g\circ f)$.

Контраваріантний функтор, або кофунктор — це функтор з $\mathcal{C}$ у $\mathcal{D}^{op}$, тобто «функтор, що перевертає стрілки».

Література

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and concrete categories. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Awodey, Steven (2006). Category Theory (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter (2004). Categorical foundations. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 97. Cambridge University Press.