Критерій стійкості Гурвіца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Критерій стійкості Гурвіца — один із способів аналізу лінійної стаціонарної динамічної системи на стійкість, розроблений німецьким математиком Адольфом Гурвіцем. Поряд з критерієм Рауса є представником сімейства алгебраїчних критеріїв стійкості, на відміну від частотних критеріїв, таких як критерій стійкості Найквіста. Перевагою методу є принципова простота, недоліком - необхідність виконання операції обчислення визначника, яка пов'язана з певними обчислювальними тонкощами (наприклад, для великих матриць може виявитися чималою обчислювальна помилка).

Формулювання[ред.ред. код]

Докладніше: Теорема Гурвіца

Метод працює з коефіцієнтами характеристичного рівняння системи. Нехай  W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} передатна функція системи, а  \ U(s) = 0 — характеристичне рівняння системи. Представимо характеристичний поліном  \ U(s) у вигляді

\ U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n

Із коефіцієнтів характеристичного рівняння будується визначник Гурвіца  \ n по алгоритму:

1) по головній діагоналі зліва направо виставляються всі коефіцієнти характеристичного рівняння від  \ a_1 до  \ a_n ;

2) від кожного елемента діагоналі вгору і вниз добудовуються стовпці визначника так, щоб індекси зменшувалися згори донизу;

3) на місце коефіцієнтів з індексами менше нуля або більше  \ n ставляться нулі.

відповідно до критерію Гурвіца:

Для того, щоб динамічна система була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі  \ n діагональних мінорів визначника Гурвіца були додатні. Ці мінори називаються визначниками Гурвіца.

Аналізуючи умову критерію Гурвіца, можна помітити її надмірність. Число нерівностей можна зменшити в два рази, використовуючи теорему Льєнара-Шіпара. Втім, в обчислювальному відношенні складність критерію зменшується не суттєво, тому що при обчисленні мінору високого порядку частіше за все необхідно обчислення мінорів нижчих порядків.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]