Визначник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Площа паралелограма є модулем визначника матриці 2×2 із векторів його сторін.

Визначник або детермінант — вираз складений за певним законом з n² елементів квадратної матриці. Одна з найважливіших характеристик квадратних матриць.

Для квадратної матриці розміру \ n\times n визначник є многочленом степеня \ n від елементів матриці, і є сумою добутків елементів матриці зі всіма можливими комбінаціями різних номерів рядків і стовпців (в кожному із добутків є рівно по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця). Кожному добутку приписується знак плюс чи мінус, в залежності від парності перестановки номерів.

Якщо елементами матриці є числа, то визначник — також число. Взагалі, визначник може бути функціональним або належати якомусь комутативному кільцю, залежно від походження матриці.

З точністю до знака, визначник матриці виражає коефіцієнт, на який множаться \ n-мірні об'єми під дією цієї матриці.

Визначення[ред.ред. код]

Визначник матриці \ A задається формулою:

\det(A) = |A| = \begin{vmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{vmatrix} 
 = \sum_{\pi\in S_n} \sgn(\pi) \left(a_{1 \pi(1)} \cdot a_{2 \pi(2)} \cdot \ldots \cdot a_{n \pi(n)} \right),

де \ \piперестановка множини \ (1,\ldots,n) і \ \sgn(\pi) це знак (або парність) перестановки, тобто дорівнює 1 чи -1 залежно від парності числа інверсій \ \pi.

Кількість доданків у сумі дорівнює \ n! і номери рядка та стовпця елементів матриці, що входять у один добуток, не повторюються.

Матриця називається виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, а в іншому випадку невиродженою.

Визначник 2×2 матриці[ред.ред. код]

Щоб знайти визначник 2\times 2 матриці, множимо елементи головної діагоналі та віднімаємо добуток елементів побічної діагоналі:

|A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.

Визначник 3×3 матриці[ред.ред. код]

Щоб знайти визначник 3\times 3 матриці, будуємо шість добутків таким чином:


 |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}
 = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.

Для знаходження визначників високого порядку застосовуються принципово інші методи (насамперед, метод Гауса), що вимагають значно меншої кількості арифметичних операцій (O(n^3) замість n!).

Властивості[ред.ред. код]

  1. Якщо помножити якийсь рядок на константу \ a, то визначник також помножиться на \ a.
  2. Якщо у матриці поміняти місцями будь-які два рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.
  3. При додаванні до будь-якого рядка лінійної комбінації кількох інших рядків визначник не зміниться.
  4. У матриці з двома однаковими/пропорційними рядками або з нульовим рядком, визначник дорівнює нулю.
  5. Всі властивості визначників, що стосуються рядків, так само справедливі і для стовпців.
  6. Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів на діагоналі.
  7. Теорема Лапласа: визначник квадратної матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
  8. Теорема про фальшивий розклад: сума добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення відповідних елементів паралельного рядка дорівнює нулю.
  9. \ \det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}.
  10. \ \det(A^T) = \det(A).
  11. \ \det(AB) = \det(A)\det(B).

В лінійній алгебрі доводиться, що перші три властивості майже характеризують визначник матриць з елементами у полі. А саме, якщо функція елементів матриці задовольняє 1,2,3, то така функція пропорціональна \det.

Історія[ред.ред. код]

Китайський текст «Математика в дев'яти книгах» (написаний ще до нашої ери) містить приклади використання визначника для розв'язання системи рівнянь, ще задовго до введення визначників японським математиком Такакадзу Секі (1683) та німецьким математиком Лейбніцем (1693).

Одне із найповніших джерел з історії визначників (до початку 20 століття) — це чотирьохтомна хрестоматія The theory of determinants in the historical order of development by Thomas Muir, New York, Dover Publications, 1960. Див. [1]

Спеціальні види визначників[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]