Динамічна система

Фазова діаграма атрактора Лоренца — популярний приклад нелинійної динамичної системи. Подібні системи вивчає теорія хаосу.

Динамі́чна систе́ма — математична абстракція, призначена для опису і вивчення систем, що еволюціонують з часом. Прикладом можуть служити механічні системи (рухомі групи тіл) або фізичні процеси.

Основні поняття

Реальним фізичним системам, модельованим математичним поняттям «Динамічної системи», приписується важлива властивість детермінованості: знаючи стан системи в початковий момент часу, ми можемо однозначно передбачити всю її подальшу поведінку. Фазовим простором динамічної системи називається множина всіх її можливих станів у фіксований момент часу. Звичайний стан системи задається деяким набором чисел (фазових координат) і є областю в багатовимірному просторі або многовид. Еволюція системи представляється як рух точки фазового простору. Крива, що описується цією точкою називається фазовою кривою або фазовою траєкторією.

Як приклад розглянемо механічну систему, що складається з ваги (матеріальної точки), що рухається по нерухомому стрижню. Припустимо, що тертя і зовнішні сили відсутні. Положення ваги задається одним дійсним числом — її координатою в деякій фіксованій системі відліку. Проте знання одній тільки координати не задає повністю стан динамічної системи, оскільки не дозволяє передбачити її поведінку в майбутньому. З іншого боку, знаючи координату і швидкість в початковий момент часу, ми можемо це зробити, пригадавши другий закон Ньютона (в даному випадку швидкість постійна). Говорять, що фазовий простір такої системи двовимірний. Якби вантажів було два, стан системи описувався б чотирма числами (дві координати і дві швидкості) і система мала б чотиривимірний фазовий простір. Важливо відзначити, що кожна точка фазового простору задає стан всієї системи.

Способи задання динамічних систем

Для задання динамічної системи необхідно описати її фазовий простір X, множину моментів часу T і деяке правило, що описує рух точок фазового простору з часом. Множина моментів часу T може бути як інтервалом дійсної прямої (тоді говорять, що час неперервний), так і множиною цілих або натуральних чисел (дискретний час). У другому випадку «рух» точки фазового простору більше нагадує миттєві «стрибки» з однієї точки в іншу: траєкторія такої системи є не гладкою кривою, а просто впорядкованою множиною точок. Проте, незважаючи на зовнішню відмінність, між системами з неперервним і дискретним часом є тісний зв'язок: багато властивостей є загальними для цих класів систем або легко переносяться з одного на іншій.

Фазові потоки

Нехай фазовий простір X є багатовимірним простором або областю в нім, а час безперервний. Припустимо, що нам відомо, з якою швидкістю рухається кожна точка x фазового простору. Іншими словами, відома вектор-функція швидкості v(x). Тоді траєкторія точки $x_0\in X$ буде розв'язком автономного диференціального рівняння $\frac{dx}{dt}=v(x)$ з початковою умовою $x(0)=x_0$. Задана таким чином динамічна система називається фазовим потоком для автономного диференціального рівняння.

Каскади

Нехай X — довільна множина, і $f\colon X\to X$ — деяке відображення множини X на себе. Розглянемо ітерації цього відображення, тобто результати його багатократного застосування до точок фазового простору. Вони задають динамічну систему з фазовим простором X і множиною моментів часу $T=\mathbb N$. Дійсно, вважатимемо, що довільна точка $x_0\in X$ за час 1 переходить в точку $x_1=f(x_0)\in X$. Тоді за час 2 ця точка перейде в точку $x_2=f(x_1)=f(f(x_0))$ і так далі.

Якщо відображення f оборотнє, можна визначити і зворотні ітерації: $x_{-1}=f^{-1}(x_0)$, $x_{-2}=f^{-1}(f^{-1}(x_0))$ і так далі. Тим самим отримуємо систему з множиною моментів часу $T=\mathbb Z$.

Приклади

• Система диференціальних рівнянь

$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=v\\ \frac{dv}{dt}=-kx \end{cases}$

задає динамічну систему з неперервним часом, що називається «гармонічним осцилятором». Її фазовим простором є площина (x, v), де v — швидкість точки x. Гармонічний осцилятор моделює різноманітні коливальні процеси — наприклад, поведінку ваги на пружині. Його фазовими кривими є еліпси з центром в нулі.

• Нехай $\varphi$ — кут, що задає положення точки на одиничному колі. Відображення подвоєння $f(\varphi)=2\varphi\pmod{2\pi}$ задає динамічну систему з дискретним часом, фазовим простором якої є коло.

Питання теорії динамічних систем

Маючи якесь завдання динамічної системи, далеко не завжди можна знайти і описати її траєкторії в явному вигляді. Тому зазвичай розглядаються простіші (але не менш змістовні) питання про загальну поведінку системи. Наприклад:

• Чи є у системи замкнуті фазові криві, тобто чи може вона повернутися в початковий стан в ході еволюції?
• Як влаштований атрактор системи, тобто множина у фазовому просторі, до якого прагнуть «більшість» траєкторій?
• Як поводяться траєкторії, випущені з близьких точок, — чи залишаються вони близькими або йдуть з часом на значну відстань?
• Що можна сказати про поведінку «типової» динамічної системи з деякого класу?
• Що можна сказати про поведінку динамічних систем, «близьких» до даної?

Див. також

• Синергія

Література

• Анищенко В. С. , Знакомство з нелинейной динамикой. 2008. (рос.)