Кумерова поверхня

Кумерова поверхня, названа на честь Ернста Кумера, є прикладом К3-поверхні (тобто однозв'язної компактної голоморфно симплектичної поверхні), зв'язаної з абелевою поверхнею (або, більш загально, двовимірним комплексним тором).

Нільпотентний конус

Перед обговоренням кумерової поверхні було б корисно обміркувати простіший приклад голоморфно симплектичної поверхні, що, на відмінність від кумерової, не є компактною.

Нехай $u,v$ суть голоморфні координати на $\mathbb {C} ^{2}$, та нехай $\iota (u,v)=(-u,-v)$. Це є голоморфною інволюцією на $\mathbb {C} ^{2}$. Розглянемо відображення $\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{3}$, $(u,v)\mapsto (uv,u^{2},-v^{2})$. Воно ототожнюває точки $(u,v)$ з $(-u,-v)$, та тому є вкладенням $\mathbb {C} ^{2}/\iota \to \mathbb {C} ^{3}$. Маємо $(uv)^{2}+u^{2}(-v^{2})=0$, так що коли $a,b,c$ є координати на $\mathbb {C} ^{3}$, образ цього вкладення задовільняє рівнянню $a^{2}+bc=0$, тобто є квадратичним конусом ${\mathfrak {N}}$.

Голоморфна форма $du\wedge dv$ на $\mathbb {C} ^{2}$ є інваріантною відносно інволюції, так що вона спускається на гладкий локус конуса ${\mathfrak {N}}$.

Теорема. Ця голоморфно симплектична форма на ${\mathfrak {N}}\cong \mathbb {C} ^{2}/\iota$ продовжується на роздуття цього конуса у нулі.

Доказ. Розглянемо $\mathbb {C} ^{3}$ як алгебру Лі ${\mathfrak {sl}}(2)$ матриць другого порядку зі слідом $0$. Така матриця $M$ називається нільпотентною, коли $M^{2}=0$. Вирахуючи, маємо:

${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&0\\0&bc+(-a)^{2}\end{pmatrix}}$

Тобто матриця з ${\mathfrak {sl}}(2)$ є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона ліжить на вищезазначеному конусі ${\mathfrak {N}}\subset {\mathfrak {sl}}(2)$.

Роздуття квадратичного конуса у нулі є гладкою алгебричною поверхнею, ізоморфною тотальному простору голоморфного кодотичного розшарування проєктивної прямої $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$. Взагалі, дотичним простором $T_{\ell }\mathrm {P} (V)$ до проєктивного простору є простір $\mathrm {Hom} (\ell ,V/\ell )$, а кодотичним — спряжений простір $\mathrm {Hom} (V/\ell ,\ell )$. Він може бути ототожнений зі підпростором у $\mathrm {Hom} (V,\ell )$ відображень, що занулюються на $\ell$, а коли $\dim V=2$, це те саме що нільпотентни матриці з ядром $\ell$. Відображення $T^{*}\mathrm {P} (V)\to {\mathfrak {N}}\subset {\mathfrak {sl}}(V)$ є здуттям нулевого перетину кодотичного розшарування.

Тотальний простір кодотичного розшарування є типовим прикладом симплектичного многовиду. Має сенс описати цю структуру більш детально. Коли $X$ є будь-яким многовидом, 1-форма Ліувіля $\lambda$ на $T^{*}X\xrightarrow {\pi } X$ визначається як $\lambda _{\xi }(v)=\xi (\pi _{*}v)$, де $\xi \in T^{*}X$ є кодотичним вектором у якійсь точці на $X$. Канонічна 2-форма визначається як $\omega =d\lambda$.

В термінах нільпотентного конуса, дотичним вектором до ${\mathfrak {N}}$ у точці $M$ є матриця $B$ така, що $(M+\varepsilon B)^{2}=0\mod \varepsilon ^{2}$, або еквівалентно $MB+BM=0$. Коли $\ell =\ker M$, маємо $B(\ell )\subset \ell$. 1-форма Ліувіля $\lambda _{M}(B)$ визначається як власне значення $B$ на $\ell$.

Щоб переконатися, що обидва відображення $T^{*}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\to {\mathfrak {N}}\leftarrow \mathbb {C} ^{2}/\iota$ поважають голоморфно симплектичну форму, запишемо матрицю $M\in {\mathfrak {N}}$ у координатах $u,v$:

${\begin{pmatrix}uv&u^{2}\\-v^{2}&-uv\end{pmatrix}}.$

Її ядро породжено вектором ${\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}}$. Прямий розрахунок показує:

${\begin{pmatrix}uv+\delta u\cdot v&u^{2}+2u\delta u\\-v^{2}&-uv-\delta u\cdot v\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}}=-v\delta u{\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}};~~~~~~{\begin{pmatrix}uv+u\delta v&u^{2}\\-v^{2}-2v\delta v&-uv-u\delta v\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}}=u\delta v{\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}}$

Іншими словами, 1-форма Ліувіля у координатах $u,v$ виглядає як $\lambda _{(u,v)}(\partial _{u})=-v,\lambda _{(u,v)}(\partial _{v})=u$, тобто $\lambda =udv-vdu$. Таким чином, канонічна 2-форма виглядає як $d\lambda =2du\wedge dv$, та продовжує цю форму на роздуття конуса. ◻

Конструкція кумерової поверхні

Ернст Кумер

Нехай $A$ є комплексним тором розмірності два, тобто фактором $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$. Відображення $\iota \colon x\to -x$ є інволюцією на $A$, що має 16 нерухомих точок (точок $a\in A$ таких, що $a+a=0_{A}$). Біля кожної нерухомої точки $\iota$ діє як $x\mapsto -x$ біля $0\in U$, де $U\subset \mathbb {C} ^{2}$ є малим шаром.

Через це фактор $X=A/\iota$ є комплексним двовимірним многовидом з 16 особливими точками, влаштованих, як було показано вище, як вершини квадратичних конусів. Роздуття кожної особливої точці перетворює $X$ на неособливу поверхню, звану кумеровою поверхнею тору $A$ та позначаєму $\mathrm {Kum} (A)$. Вона є алгебричною тоді і тільки тоді, коли тор $A$ є алгебричним (тобто абелевою поверхнею).

Кожен тор має голоморфно симплектичну форму $\sigma =du\wedge dv$, єдину з точністю до множення на скаляр. Інволюція $\iota$ змінює знак обох координат, так що $\sigma$ спускається на фактор $X=A/\iota$. Як було показано вище, $\sigma$ продовжується у виняткови криві, що вдуті у 16 особливих точок.

Кумерови поверхні якобієвих поверхонь

Нехай $C$ є кривою роду два, тобто розгалуженим накриттям $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ зі шістьма точками розгалуження, та $\iota \colon C\to C$ переставляє листи накриття. Її симетричний квадрат $\mathrm {Sym} ^{2}C$ параметризує дивізори ступеня 2 на $C$. Відповідність $D\mapsto {\mathcal {O}}(D)$ відображує $\mathrm {Sym} ^{2}C$ на $\mathrm {Pic} ^{2}(C)$, простір модулів лінійних розшарувань ступеня 2. За формулою Рімана — Роха, це відображення є здуттям раціональної кривої в точку $K_{C}\in \mathrm {Pic} ^{2}(C)$, та взаємно-однозначним в інших точках. Ототожнимо $\mathrm {Pic} ^{2}(C)$ з тором $\mathrm {Pic} ^{0}(C)$ як $D\mapsto D-K_{C}$. Тоді інволюція $x\mapsto -x$ на $\mathrm {Pic} ^{0}$ ототожнюється з інволюцією $D\mapsto \iota (D)$. Роздуття фактору $\mathrm {Pic} ^{2}(C)/\iota$ є кумеровою поверхнею $\mathrm {Kum}$.

Шість зелених прямих, дотичних до кониці

Ця кумерова поверхня $\mathrm {Kum}$ має ще одну інволюцію: $(x+y)\mapsto (x+\iota (y))$ (зауважимо, що після факторизації по $\iota$ маємо $x+\iota (y)\sim \iota (x+\iota (y))\sim \iota (x)+y$). Точки цього фактору можуть бути ототожнені з дивізорами вигляду $x+\iota (x)+y+\iota (y)$, або еквівалентно дивізорами ступеня 2 на $C/\iota =\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$. Таким чином, кумерова поверхня якобієвої поверхні має відображення ступеня 2 на $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {Sym} ^{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$. Будь-яка K3-поверхня з такою властивістю є подвійним накриттям $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$, розгалуженим у секстиці (тобто плоскій кривій ступіня 6). Але в цьому випадку секстика має спеціальний вигляд: будь-яка точка вигляду $2x+y+\iota (y)$, де $x=\iota (x)$, має тільки один прообраз. Як відомо, при ототожненні $\mathrm {Sym} ^{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ точки вигляду $x+x$ перейдуть у точки на кониці $Q\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$, а точки вигляду $x+y$ для фіксованого $x$ — у точки дотичної прямої до $Q$ у точці $x+x$. Стало бути, локус розгалуження накриття $\mathrm {Kum} \to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ є об'єднанням шести прямих, дотичних до коники. Розгалужене накриття в особливій кривій має особливу точку у прообразі особливої точки кривої; шість прямих перетинаються у п'ятнадцяти точках, в які вдуваються 15 виняткових кривих. Шістнадцятою винятковою кривою є одна з компонент прообразу вписанної коники.

Інший спосіб геометрично реалізувати кумерову поверхню полягає в наступному. Квартика у $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$, тобто поверхня ступіня 4, може мати не більше ніж 16 квадратичних особливих точок. Нехай $S\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ така поверхня, $O$ одна з її особливих точок, та $\Pi \subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ — проєктивна площина. Тоді пряма $OP$, де $P\in \Pi$ перетинає $S$ в $O$ з кратністю 2, та ще у двох точках $P'$ та $P''$. Тим самим проєкція з квадратичної особливості є подвійним накриттям $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$. П'ятнадцять інших особливих точок проєктуються у п'ятнадцять особливих точок локусу розгалуження цього накриття, а плоска секстика з 15 особливими точками є об'єднанням шести прямих. Граничне положення прямої $OP$ при стрямуванні $P'\to O$ є дотичною прямою до квадратичного конуса, так що виняткова крива, що вдута у точку $O$, проєктується в конику, що дотикається до кожної з шести прямих.

Зауважимо, що сама крива $C$ може бути вкладена у $\mathrm {Pic} ^{0}$ як $x\mapsto x-x_{0}$, де $x_{0}$ є нерухомою точкою. Коли $\iota (x_{0})=x_{0}$, маємо $-C=C$, і більше того $-1_{\mathrm {Pic} ^{0}(C)}|_{C}=\iota$. Таким чином фактор $C/\iota \cong \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ відображується в кумерову поверхню, та перетинає шість виняткових кривих (бо $C\subset \mathrm {Pic} ^{0}$ проходить через шість нерухомих точок інволюції). Зрушення $C$ на всілякі 15 елементів 2-кручення дають ще 15 раціональних кривих. Цю конфігурацію кривих на кумеровій поверхні досліджував Фелікс Кляйн; вона була вишита на весільній сукні його нареченої Анни Гегель (онуки Ґ. В. Ф. Геґеля).

Узагальнені кумерові многовиди

Арно Бовиль виявив багатовимірні аналоги кумерових поверхонь. З кожним двохвимірним комплексним тором $A$ можна зв'язати його схему Гільберта $\mathrm {Hilb} ^{n}(A)$, параметризуючу підсхеми $A$ з носієм із $n$ точок з урахуванням кратності. Вона допускає відображення $\mathrm {Hilb} ^{n}(A)\to A$, $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}\mapsto \sum _{i=1}^{n}x_{i}$. Його шар понад $0_{A}\in A$ є однозв'язним голоморфно симплектичним многовидом комплексної розмірності $2n-2$, званим узагальненим кумеровим многовидом: при $n=2$ маємо шар понад $0_{A}$ із пар $\{a,-a\}$, що еквівалентно роздуттю фактору $A/\pm 1$.

Джерела

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., т. 4, Springer-Verlag, Berlin, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
• Dolgachev, Igor (2012), Classical algebraic geometry. A modern view, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-01765-8, MR 2964027