Накриття (топологія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Накриття відкритої множини U

Накриттянеперервне сюр'єктивне відображення \ p:X \to Y топологічного простору X на топологічний простір Y, таке, що для будь-якої точки x \in Y знайдеться окіл U \subset Y, повний прообраз якого \ p^{-1}(U) є об'єднанням відкритих множин V_k\subset X, що не перетинаються:

p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots,

причому на кожній множині V_k відображення p:\,V_k\to U є гомеоморфізмом між V_k і U.

Пов'язані визначення[ред.ред. код]

  • Простір Y називається базою накриття, а Xпростором накриття (або накриваючим простором).
  • Прообраз \ p^{-1}(x) точки x \in Y називають шаром над точкою x.
  • Число областей Vk в повному прообразі p^{-1}(U) називається числом листів.
    • Якщо це число скінченне і рівне n, то накриття називається n-листовим.
  • Накриття називається універсальним якщо накриваючий простір є однозв'язним.

Приклади[ред.ред. код]

  • Нехай S^1 позначає одиничне коло комплексної площини S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}.
    • \ p: \R \to S^1, \quad p:x \mapsto e^{2\pi i x}.
    • \ p: S^1\to S^1, \quad p:z \mapsto z^k, де \ k\neq 0, k \in \Z.
  • Нехай X = S^1 \times S^1 \, — тор. Тоді \R^2 є накриваючим простором і накриття задається формулою:
    • p: \R^2 \to S^1 \times S^1, \quad p:(x,y) \mapsto (e^{2\pi i x},e^{2\pi i y}).

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай p:X\to Y — накриття і U \subset X — відкрита підмножина простору X. Тоді множина p(U) е відкритою у Y.
  • Нехай p:X\to Y — накриття і Zзв'язний і локально-зв'язний простір. Нехай a,b: Z\to X неперервні відображення, що задовольняють умови
  1. p \circ a = p \circ b;
  2. a(y_0) = b(y_0)\, для деякого y_0 \in Y.
тоді a = b.\,
  • Накриття є частковими випадками локально тривіальних розшарувань. Їх можна розглядати як локально тривіальні розшарування з дискретним шаром.

Зв'язок з фундаментальною групою[ред.ред. код]

Зазвичай накриття розглядається в припущенні зв'язності X і Y а також локальної зв'язності і локальної однозв'язності Y. При цих припущеннях встановлюється зв'язок між фундаментальними групами \pi_1(X,x_0) і \pi_1(Y y_0): якщо p(x_0)=y_0, то індукований гомоморфізм p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y y_0), відображає \pi_1(X,x_0) ізоморфно на підгрупу в \pi_1(Y y_0) і, міняючи точку x_0 у p^{-1}(y_0), можна одержати в точності всі підгрупи з деякого класу спряжених підгруп.

Якщо цей клас складається з однієї підгрупи H (тобто Hнормальна підгрупа), те накриття називається регулярним. В цьому випадку виникає вільна дія групи G=\pi_1(Y y_0)/H на X, причому p виявляється фактор-відображенням на простір орбіт Y.

Взагалі, вільні дії дискретних груп — типове джерело регулярних накриттів (над простором орбіт, хоч і не всяка така дія задає накриття, простір орбіт може виявитися невіддільним).

Ця дія породжується підняттям петель: якщо петлі q:[0,1] \to Y, q(0)=q(1)=y_0, зіставити єдиний шлях \tilde q: [0,1]\to X, для якого q
(0) = x_0 і p\tilde q=q, то точка \tilde q(1) залежатиме тільки від класу цієї петлі в G і від точки x_0. Таким чином, елементу з G відповідає перестановка точок в p^{-1}(y_0). Ця перестановка не має нерухомих точок, і неперервно залежить від точки y_0. Це визначає гомеоморфізм X, що комутує з p.

У загальному випадку ця конструкція визначає лише перестановку в p^{-1}(y_0), тобто дію \pi_1(Y y_0) на p^{-1}(y_0), що називається монодромією накриття.

Окремим випадком регулярного накриття є універсальне накриття, для якого G=\pi_1(Y y_0) або, що еквівалентно, X — однозв'язний простір.

Взагалі, по кожній групі H\subset \pi_1(Y y_0) однозначно будується накриття p:X\to Y, для якого образ \pi_1(X x_0) є H.

Для будь-якого відображення f лінійно зв'язного простору (Z z_0) у (Y y_0) підняття його до відображення \tilde f: (Z z_0)\to (X,x_0) існує тоді і тільки тоді, коли образ f(\pi_1(Z z_0)) лежить в H. Між накриттями Y є відношення часткового порядку (накриття деякого накриття простору X теж є накриттям простору X), подвійне включенню підгруп в \pi_1(Y y_0). Зокрема, універсальне накриття є єдиним максимальним елементом.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
  • Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
  • Massey, William (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. New York: Springer. ISBN 0-387-97430-X.
  • Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3