Накриття (топологія)

Накриття відкритої множини U

Накриття — неперервне сюр'єктивне відображення $\ p:X \to Y$ топологічного простору X на топологічний простір Y, таке, що для будь-якої точки $x \in Y$ знайдеться окіл $U \subset Y$, повний прообраз якого $\ p^{-1}(U)$ є об'єднанням відкритих множин $V_k\subset X$, що не перетинаються:

$p^{-1}(U) = V_1\cup V_2\cup\dots$,

причому на кожній множині $V_k$ відображення $p:\,V_k\to U$ є гомеоморфізмом між $V_k$ і $U$.

Пов'язані визначення

• Простір Y називається базою накриття, а X — простором накриття (або накриваючим простором).
• Прообраз $\ p^{-1}(x)$ точки $x \in Y$ називають шаром над точкою $x$.
• Число областей V_k в повному прообразі $p^{-1}(U)$ називається числом листів.
  • Якщо це число скінченне і рівне n, то накриття називається n-листовим.
• Накриття називається універсальним якщо накриваючий простір є однозв'язним.

Приклади

• Нехай $S^1$ позначає одиничне коло комплексної площини $S^1=\{z\in {\mathbb C||z|=1}\}$.
  • $\ p: \R \to S^1, \quad p:x \mapsto e^{2\pi i x}$.
  • $\ p: S^1\to S^1, \quad p:z \mapsto z^k$, де $\ k\neq 0$, $k \in \Z$.
• Нехай $X = S^1 \times S^1 \,$ — тор. Тоді $\R^2$ є накриваючим простором і накриття задається формулою:
  • $p: \R^2 \to S^1 \times S^1, \quad p:(x,y) \mapsto (e^{2\pi i x},e^{2\pi i y})$.

Властивості

• Нехай $p:X\to Y$ — накриття і $U \subset X$ — відкрита підмножина простору X. Тоді множина p(U) е відкритою у Y.
• Нехай $p:X\to Y$ — накриття і Z — зв'язний і локально-зв'язний простір. Нехай $a,b: Z\to X$ — неперервні відображення, що задовольняють умови

1. $p \circ a = p \circ b;$
2. $a(y_0) = b(y_0)\,$ для деякого $y_0 \in Y.$

тоді $a = b.\,$

• Накриття є частковими випадками локально тривіальних розшарувань. Їх можна розглядати як локально тривіальні розшарування з дискретним шаром.

Зв'язок з фундаментальною групою

Зазвичай накриття розглядається в припущенні зв'язності $X$ і $Y$ а також локальної зв'язності і локальної однозв'язності $Y$. При цих припущеннях встановлюється зв'язок між фундаментальними групами $\pi_1(X,x_0)$ і $\pi_1(Y y_0)$: якщо $p(x_0)=y_0$, то індукований гомоморфізм $p:\pi_1(X,x_0)\to \pi_1(Y y_0)$, відображає $\pi_1(X,x_0)$ ізоморфно на підгрупу в $\pi_1(Y y_0)$ і, міняючи точку $x_0$ у $p^{-1}(y_0)$, можна одержати в точності всі підгрупи з деякого класу спряжених підгруп.

Якщо цей клас складається з однієї підгрупи $H$ (тобто $H$ — нормальна підгрупа), те накриття називається регулярним. В цьому випадку виникає вільна дія групи $G=\pi_1(Y y_0)/H$ на $X$, причому $p$ виявляється фактор-відображенням на простір орбіт $Y$.

Взагалі, вільні дії дискретних груп — типове джерело регулярних накриттів (над простором орбіт, хоч і не всяка така дія задає накриття, простір орбіт може виявитися невіддільним).

Ця дія породжується підняттям петель: якщо петлі $q:[0,1] \to Y$, $q(0)=q(1)=y_0$, зіставити єдиний шлях $\tilde q: [0,1]\to X$, для якого $q (0) = x_0$ і $p\tilde q=q$, то точка $\tilde q(1)$ залежатиме тільки від класу цієї петлі в $G$ і від точки $x_0$. Таким чином, елементу з $G$ відповідає перестановка точок в $p^{-1}(y_0)$. Ця перестановка не має нерухомих точок, і неперервно залежить від точки $y_0$. Це визначає гомеоморфізм $X$, що комутує з $p$.

У загальному випадку ця конструкція визначає лише перестановку в $p^{-1}(y_0)$, тобто дію $\pi_1(Y y_0)$ на $p^{-1}(y_0)$, що називається монодромією накриття.

Окремим випадком регулярного накриття є універсальне накриття, для якого $G=\pi_1(Y y_0)$ або, що еквівалентно, X — однозв'язний простір.

Взагалі, по кожній групі $H\subset \pi_1(Y y_0)$ однозначно будується накриття $p:X\to Y$, для якого образ $\pi_1(X x_0)$ є $H$.

Для будь-якого відображення $f$ лінійно зв'язного простору $(Z z_0)$ у $(Y y_0)$ підняття його до відображення $\tilde f: (Z z_0)\to (X,x_0)$ існує тоді і тільки тоді, коли образ $f(\pi_1(Z z_0))$ лежить в $H$. Між накриттями $Y$ є відношення часткового порядку (накриття деякого накриття простору X теж є накриттям простору X), подвійне включенню підгруп в $\pi_1(Y y_0)$. Зокрема, універсальне накриття є єдиним максимальним елементом.

Див. також

• Фундаментальна група

Література

• Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. М.: Наука,1986
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• Massey, William (1991). A Basic Course in Algebraic Topology. New York: Springer. ISBN 0-387-97430-X.
• Isadore Singer and John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag (1967) ISBN 0-387-90202-3