Тор (геометрія)
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Тор — геометричне тіло, що отимується обертанням кола навколо осі, що лежить у одній площині з колом але не перетинає його. Форма тора зовні нагадує бублик.
Зміст |
[ред.] Геометрія
Рівняння тора не склдадно отримати, перейшовши від декарторих координат з початком в центрі тора (радіус-вектор 
) до кутів p та t, що описують обертання навколо осей тора, як зображено на Рис. 2. В результаті має місце параметричне рівняння:
Тут ![t,p \in [0,2\pi]](http://upload.wikimedia.org/math/3/6/5/365416583ce65de6a3fa2b94700875ec.png)
, R — відстань від центру кола до осі обертання, r — радіус кола.
Непараметричне рівняння в декартових координатах і з тими ж радіусами має четверту ступінь:
Площа поверхні тора A та його об'єм V визначаються за формулами:
Ці формули точно співпадають з формулами для площі та об'єму циліндра з висотою 2πR та радіусом r, який утворюється при розрізанні тора та випрямленні його вздовж лінії, що проходить через центр труби. Втрати площі та об'єму на внутрішньому боці тора точно компенсуються збільшенням площі та об'єму на зовнішньому боці.
[ред.] Топологія
З топологічної точки зору тор - це замкнута поверхня, яка визначається як добуток двох кіл: S¹ × S¹.
Фундаментальною групою тора є прямий добуток фундаментальних груп кола:
Інтуїтивно це означає, що траекторія, що спочатку обходить «дірку» тора (нехай для сталого кута p), а потім його тіло (нехай для сталого кута t) може бути деформована у траекторію, що спочатку обходить тіло тора, а потім - дірку. Таким чином, обходи тора «по широті» та «по довготі» комутують.
Тор є поверхнею повноторія.
[ред.] n-вимірний тор
[ред.] Застосування
Поняття тора широко застосовується в теорії динамічних систем, зокрема в теорії КАМ. Зокрема, динаміка інтегровної гамільтонової системи відбувається на інваріантних торах у фазовому просторі системи.
 |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її. |
