Тор (геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Рис. 1. Тор

Тор — геометричне тіло, що утворюється обертанням кола навколо осі, котра лежить у одній площині з колом, але не перетинає його. Форма тора зовні нагадує бублик.

Геометрія[ред.ред. код]

Рис.2. Тор та його основні параметри

Рівняння тора не складно отримати, перейшовши від декартових координат з початком в центрі тора (радіус-вектор  \vec X= (x,y,z)) до кутів p та t, що описують обертання навколо осей тора, як зображено на Рис. 2. В результаті має місце параметричне рівняння:

x(t, p) =  (R + r\cos{p}) \cos{t} \,
y(t, p) =  (R + r \cos{p}) \sin{t} \,
z(t, p) = r \sin{p} \,

Тут t,p \in [0,2\pi], R — відстань від центру кола до осі обертання, r — радіус кола.

Непараметричне рівняння в декартових координатах і з тими ж радіусами має четверту ступінь:

\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0

Площа поверхні тора A та його об'єм V визначаються за формулами:

A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,
V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,

Ці формули точно збігаються з формулами для площі та об'єму циліндра з висотою 2\pi R та радіусом r, який утворюється при розрізанні тора та випрямленні його вздовж лінії, що проходить через центр труби. Втрати площі та об'єму на внутрішньому боці тора точно компенсуються збільшенням площі та об'єму на зовнішньому боці.

Топологія[ред.ред. код]

З топологічної точки зору тор - це замкнута поверхня, яка визначається як добуток двох кіл: S¹ × S¹.

Рис. 3. Тор як добуток двох кіл.

Фундаментальною групою тора є прямий добуток фундаментальних груп кола:

\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.

Інтуїтивно це означає, що траєкторія, що спочатку обходить «дірку» тора (нехай для сталого кута p), а потім його тіло (нехай для сталого кута t) може бути деформована у траєкторію, що спочатку обходить тіло тора, а потім - дірку. Таким чином, обходи тора «по широті» та «по довготі» комутують.

Тор є поверхнею повноторія, заповнений тор.


n-Вимірний тор[ред.ред. код]

Застосування[ред.ред. код]

Поняття тора широко застосовується в теорії динамічних систем, а також у теорії КАМ. Зокрема, динаміка інтегровної гамільтонової системи відбувається на інваріантних торах у фазовому просторі системи.

Посилання[ред.ред. код]