Лео Айхманн народився в кантоні Санкт-Галлен. У 1954 році розпочав виступи на футбольних полях у клубі «Цюрих», у якому грав протягом одного сезону. Наступного року Айхманн перейшов до клубу «Шаффгаузен», у якому грав протягом двох років. У 1957 році футболіст перший раз у кар'єрі став гравцем клубу «Ла Шо-де-Фон», в якому грав протягом одного сезону. У сезоні 1958—1959 Лео Айхманн захищав ворота клубу «Грассгоппер». У 1959 році Айхманн повернувся до складу клубу «Ла Шо-де-Фон», у якому грав до завершення кар'єри футболіста в 1971 році. У складі команди став чемпіоном Швейцарії у 1964 році, та володарем Кубка Швейцарії у 1961 році.