Логарифмічно опукла функція

Кажуть, що функція f означена на опуклій підмножині дійсного векторного простору і така, що приймає додатні значення логарифмічно опукла чи суперопукла якщо ${\log }\circ f$, композиція логарифмічної функції з f, це  — опукла функція. Логарифм дуже сповільнює зростання початкової функції $f$, отже якщо композиція зберігає властивість опуклості, то це повинно означати, що початкова функція $f$ була 'дійсно опуклою', звідси термін суперопукла.

Логарифмічно опукла функція f — це опукла функція, бо це композиція висхідної функція $\exp$ і функції $\log \circ f$, яка опукла за припущенням. Зворотнє твердження не завжди істинно: наприклад, $g:x\mapsto x^{2}$ — опукла, але ${\log }\circ g:x\mapsto \log x^{2}=2\log |x|$ — ні і тому $g$ не логарифмічно опукла. З іншого боку, $x\mapsto e^{x^{2}}$ — логарифмічно опукла, бо $x\mapsto \log e^{x^{2}}=x^{2}$ — опукла. Важливим прикладом логарифмічно опуклої функції є гамма-функція на множині додатних дійсних чисел.

Властивості

• Логарифмічна опуклість $\Rightarrow$ опуклість $\Rightarrow$ квазіопуклість.

Див. також

• Логарифмічно угнута функція
• Теорема Бор-Молерупа

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.