Векторний простір

Ве́кторний (ліні́йний) про́стір — основне поняття лінійної алгебри, узагальнення множини всіх векторів на площині чи в просторі з операціями додавання векторів та множення вектора на скаляр.

Елементи лінійного простору називаються векторами, але не робиться ніяких припущень стосовно природи чи походження цих елементів. Наприклад, у функціональному аналізі розглядаються топологічні векторні простори, утворені з функцій однієї чи кількох змінних, а вектори стану в квантовій механіці описують стан квантової системи. Матриці заданого розміру також утворюють векторний простір. Зміст наведених нижче аксіом полягає у тому, що незалежно від природи елементів векторного простору, їхнє додавання і множення на скаляр задовільняють правила «шкільної алгебри».

У довільному векторному просторі не визначені операції скалярного, векторного добутку; норми чи метрики. Ці операції можуть вводитись як додаткові структури. Проте векторні простори із скалярним або ермітовим скалярним добутком відіграють важливу роль як у лінійній алгебрі, так і поза її межами, див. напр. гільбертів простір.

Означення

Лінійний простір над полем $\mathbb{K}$ — це множина $L \!$ елементи якої називаються векторами, у якій визначені:

• бінарна операція $\ L \times L \to L$ додавання векторів: $(\vec{u},\vec{v})\mapsto \vec{u}+\vec{v}$
• унарна операція $\ K \times L \to L$ множення вектора на скаляр: $(\lambda,\vec{u}) \mapsto \lambda \vec{u}$

що задовільняють наступній системі аксіом:

• $L$ — комутативна група відносно операції додавання векторів:
  • $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ (комутативність додавання)
  • $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ (асоціативність додавання)
  • $\exist \vec{0}\in L: \quad \vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ (існування нульового вектора)
  • $\exist -\vec{u}\in L: \quad \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$ (існування протилежного вектора)
• асоціативність та унітарність множення на скаляри:
  • $\lambda(\mu \vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}$ (асоціативність множення на скаляри)
  • $1 \cdot u = \vec{u}$ (де $\ 1$ це одиниця поля $\mathbb{K}$ )
• дистрибутивність додавання і множення на скаляр:
  • $(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$
  • $\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$

$\forall \vec{u},\vec{v},\vec{w} \in L$

$\forall \lambda,\mu\in\mathbb{K}$

Найпоширеніші лінійні простори над полем $\R$ дійсних чисел або $\C$ комплексних чисел.

Пов'язані визначення

• Основними поняттями в лінійному просторі є: лінійна незалежність векторів, базис, підпростір.

• Пізніше за векторний простір було введено загальніше поняття модуля над кільцем, у визначенні якого поле $\mathbb{K}$ замінено на кільце $\mathbb{K}$. Але в лінійній алгебрі воно не розглядається через проблеми з існуванням базиса.

Див. також

Лінійний підпростір Афінний простір Банахів простір Гільбертів простір

Ермітів простір Евклідів простір Норма (функціонал) Топологічний простір

Джерела

• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158. 
• Мальцев А. И. (1970). Основы линейной алгебры (вид. третє). Новосибірськ: Наука. с. 400.