Дійсні числа

Числова пряма

Дійсні числа — елементи певної числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел.

Дійсні числа утворюють поле, яке позначається $\R$ (від англ. real, нім. reel). Це означає, що дійсні числа можна додавати, віднімати, множити та ділити (окрім ділення на нуль), і для них справджуються всі звичні властивості арифметичних дій (комутативність і асоціативність додавання та множення, дистрибутивність додавання та віднімання відносно множення тощо).

Неперервність

На відміну від раціональних чисел, множина дійсних чисел є замкненою відносно операції граничного переходу. Тому вчення про дійсні числа належить до математичного аналізу.

Символ яким найчастіше позначають множину дійсних чисел

Конструктивні способи побудови дійсних чисел

• Переріз Дедекінда
• Теорія фундаментальних послідовностей Кантора
• Теорія нескінченних десяткових дробів

Коротка історія та зміст

Вже давні греки помітили потребу розглядати ірраціональні числа (тобто дійсні числа, які не є раціональними). Наприклад, ірраціональним є відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони, яке ми позначаємо $\sqrt{2}.$ Інтуїтивний зміст ірраціональних чисел полягає в тому, що вони заповнюють "дірки", що залишаються на числовій осі між раціональними числами; множина дійсних чисел є поповненням множини раціональних чисел. Перше математично строге означення дійсних чисел було винайдено лише наприкінці 19 століття.

Див. також

• Раціональні числа
• Ірраціональні числа
• Комплексні числа
• Фундаментальна послідовність

Література

• Л.Д.Кудрявцев «Курс математического анализа, том І» , М., «Высшая школа» 1981