Дійсні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Дійсні числа — елементи числової системи, яка містить у собі раціональні числа і, в свою чергу, є підмножиною комплексних чисел. Математична абстракція, яка виникла з потреб вимірювання геометричних і фізичних величин навколишнього світу, а також виконання таких математичних операцій як добування кореня, обчислення логарифмів, розв'язування алгебраїчних рівнянь.

Наочно поняття дійсного числа можна уявити за допомогою числової прямої. Якщо на прямій обрати напрям, початкову точку та одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на цій прямій, і навпаки, кожна точка представлятиме єдине дійсне число. Через цю відповідність, термін числова пряма зазвичай використовується як синонім множини дійсних чисел.

Множину дійсних чисел стандартно позначають \R чи R (від англ. real, нім. reel).

З погляду сучасної математики, множина дійсних чисел утворює неперервне впорядковане поле. Це означає, що дійсні числа можна додавати, віднімати, множити та ділити (окрім ділення на нуль), і для них справджуються всі звичні властивості арифметичних дій (комутативність і асоціативність додавання та множення, дистрибутивність додавання та віднімання відносно множення тощо), їх можна порівнювати між собою (відомо котре з двох дійсних чисел більше, а котре менше чи вони рівні між собою), а також, що на числовій прямій немає «дірок» — між будь-якими дійсними числами знайдеться дійсне число.

Історія виникнення поняття дійсного числа[ред.ред. код]

Символ яким найчастіше позначають множину дійсних чисел

«Наївна» теорія дійсних чисел[ред.ред. код]

Перша розвинена числова система, побудована в Древній Греції, містила лише натуральні числа і їх відношення (пропорції, в сучасному розумінні — додатні раціональні числа). Однак з'ясувалось, що для задач геометрії і астрономії іх недостатньо: наприклад, відношення довжини діагоналі квадрата до довжини його сторони (яке дорівнює \sqrt{2}) не може бути представлено ні натуральним, ні раціональним числом[1].

Щоб якось вийти з положення Евдокс Кнідський ввів, в доповнення до чисел, більш широке поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі чи об'єму. Теорія Евдокса дійшла до нас у працях Евкліда («Начала», книга V). По суті, теорія Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. З сучасної точки зору, при такому підході число є відношення двох однорідних величин — наприклад, досліджуваної і одиничного еталону. Однак потрібно зауважити, що Евдокс не розглядав таке відношення саме як число; через це в «Началах» багато теорем про властивості чисел потім заново доводяться для величин. Класична теорія Дедекінда побудови дійсних чисел за своїми принципами дуже подібна на викладки Евдокса. Але модель Евдокса неповна в багатьох відношеннях — наприклад, вона не містить аксіоми неперервності, немає загальної теорії арифметичних операцій для величин чи їх відношень та ін.[2]

В перші століття н. е. ситуація стала змінюватись. Вже Діофант Александрійський, всупереч попередніх традицій, розглядає дроби так, як і натуральні числа, а в IV книзі «Арифметика» навіть стверджує: «Число виявляється не раціональним»[3]. Після розпаду античної науки на перший план вийшли індійські та ісламські математики, для яких будь-який результат вимірювання чи обчислення вважався числом. Ці погляди поступово стали домінуючими і в середньовічній Європі[4], де спочатку розділяли раціональні і ірраціональні (буквально: нерозумні) числа (їх називали також уявними, абсурдними, глухими і т. п.). Повне зрівняння в правах ірраціональних чисел пов'язане з працями Сімона Стевіна (кінець XVI століття)[3]. Він же, с деякими зауваженнями, легалізував від'ємні числа, а також развинув теорію і символіку десяткових дробів.

Через століття Ньютон в своїй «Універсальній арифметиці» (1707) дає класичне означення (дійсного) числа як відношення результату вимірювання до одиничного еталону[5]. Тривалий час це прикладне означення вважалось достатнім, так що важливі для практики властивості дійсних чисел і функцій не доводились, а вважались інтуїтивно очевидними (із геометричних чи кінематичних міркувань). Строге визначення поняття неперервності також було відсутнім[6]. Як наслідок, багато теорем містили помилки, нечіткі або надто загальні формулювання.

Навіть після того, як Коші розробив достатньо строгий фундамент математичного аналізу, ситуація не змінилась, оскільки теорії дійсних чисел, на яку повинен був опиратися аналіз, не існувало. Через це Коші зробив немало помилок, довірившись інтуїції там, де вона приводила до неправильних висновків: наприклад, він вважав, що сума ряду із неперервних функцій завжди неперервна.

Створення строгої теорії[ред.ред. код]

Бернард Больцано

Першу спробу заповнити цю прогалину в основах математики зробив Бернард Больцано у 1817 році. В його роботі ще немає цілісної системи дійсних чисел, але вже наводиться сучасне означення неперервності[7]. В пізнішій праці[8] Больцано наводить начерк загальної теорії дійсних чисел, по ідеям близький до канторовської теорії множин[9], але ця його робота не була надрукована за життя автора і побачила світ лише в 1851 році. Погляди Больцано значно випередили свій час і залишились без належної уваги математичного товариства.

Сучасна теорія дійсних чисел була побудована у другій половині XIX століття, в першу чергу працями Вейєрштрасса, Дедекінда і Кантора. Вони запропонували різні, але еквівалентні підходи до теорії цієї важливої математичної структури і остаточно відділили це поняття від геометрії і механіки.

Конструктивні способи побудови дійсних чисел[ред.ред. код]

При конструктивному означенні поняття дійсного числа, на основі відомих математичних об'єктів (наприклад, множини раціональних чисел \mathbb{Q}), які вважаються заданими, будують нові объекти, які, в певному значенні, відображають наше інтуїтивне розуміння поняття дійсного числа. Вагомою відмінністю між дійсними числами і даними побудованими об'єктами є те, що перші, на відміну від других, розуміються нами лишень інтуїтивно і поки що не є строго визначеним математичним поняттям.

Ці об'єкти і називають дійсними числами. Для них вводять основні арифметичні операції, визначають відношення порядку і доводять їх властивості.

Історично першими строгими означеннями дійсного числа були саме конструктивні означення. В 1872 році були одночасно опубліковані три роботи: теорія фундаментальних послідовностей Кантора, теорія Вейєрштрасса (в сучасному варіанті — теорія нескінченних десяткових дробів) і теорія перерізів в області раціональних чисел Дедекінда[10].

Теорія нескінченних десяткових дробів[ред.ред. код]

Дійсне число означається як нескінченний десятковий дріб, тобто вираз вигляду


\pm \,a_0,a_1 a_2 \ldots a_n \ldots

де \pm є одним із символів + або -, який називається знаком числа, a_0 — ціле невід'ємне число, a_1, a_2, \ldots a_n, \ldots — послідовність десяткових знаків, тобто елементів числової множини \{0, 1, \ldots, 9\}.

Нескінченний десятковий дріб інтерпретується як таке число, яке на числовій прямій лежить між раціональними точками вигляду

\pm a_0,a_1 a_2 \ldots a_n і \pm \left ( a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n} \right ) для всіх n=0, 1, 2, \ldots

Порівняння дійсних чисел в формі нескінченних десяткових дробів проводится порозрядно. Наприклад, нехай задано два невід'ємних числа


\begin{matrix}
\alpha & = + a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots \\
\beta & = + b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots
\end{matrix}

Якщо a_0 < b_0, то \alpha <\beta; якщо a_0 > b_0, то \alpha > \beta. У випадку рівності a_0 = b_0 переходять до порівняння наступного розряду. І так далі. Якщо \alpha \neq \beta, то після скінченного числа кроків зустрінеться розряд n такий, що a_n \neq b_n. Якщо a_n < b_n, то \alpha <\beta; якщо a_n > b_n, то \alpha > \beta.

Але при цьому треба враховувати, що число a_0,a_1 a_2 \ldots a_n (9) = a_0,a_1 a_2 \ldots a_n + 10^{-n}[11]. Тому, якщо запис одного із порівнюваних чисел, починаючи з деякого розряду, є періодичним десятковим дробом, у якого в періоді стоїть 9, то його слід замінити на еквівалентний запис, з нулем в періоді.

Арифметичні операції над нескінченними десятковими дробами визначаються як неперервне продовження[12] відповідних операцій над раціональними числами. Наприклад, сумою дійсних чисел \alpha і \beta назвемо дійсне число \alpha + \beta, яке задовільняє наступну умову:


\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \quad (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')

Аналогічно означається операція множення нескінченних десяткових дробів.

Теорія перерізів в області раціональних чисел[ред.ред. код]

Докладніше: Переріз Дедекінда

Згідно з підходом Дедекінда дійсні числа визначаться за допомогою перерізів на множині раціональних чисел.

Перерізом на множині раціональних чисел \mathbb{Q} називається будь-яке разбиття сукупності всіх раціональних чисел на два непорожніх класи — нижній A та верхній A' так, що кожне число із нижнього класу строго менше будь-якого числа із верхнього:

 \mathbb{Q} = A \cup A' \quad \and \quad  A, A' \neq \varnothing  \quad \and \quad  \forall a \in A, \forall a' \in A' \quad (a < a')

Якщо існує число \alpha, яке є максимальним у нижньому класі, або мінімальним у верхньому класі, то це число разділяє множини A і A': числа нижнього і верхнього класів лежать по різні сторони від \alpha. Кажуть також, що раціональне число \alpha призводить до заданого перерізу множини раціональних чисел.

Якщо ж у нижньому класі перерізу немає максимального елемента, а в верхньому — мінімального, то не існує ніякого раціонального числа, яке б разділяло множини A і A'. В цьому випадку за означенням вважають, що цей переріз визначає деяке ірраціональне число \alpha, яке знаходиться між нижнім і верхнім класами, і тим самим призводить до заданого перерізу. Інакше кажучи, для довільного перерізу, до якого не призводить жодне раціональне число, вводять новий об'єкт — ірраціональне число, яке за означенням більше довільного числа із нижнього класу і менше будь-якого числа із верхнього класу:

\forall a \in A,\quad \forall a' \in A' \quad a < \alpha < a'

Об'єднання всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел, а його елементи — дійсними числами.

Арифметичні операції над дійсними числами визначаються як неперервне продовження відповідних операцій над раціональними числами, так само як у теорії нескінченних десяткових дробів. Наприклад, сумою дійсних чисел \alpha і \beta називається дійсне число \alpha + \beta, яке задовільняє наступну умову:


\forall a', a'', b', b'' \in \mathbb{Q} \quad (a' \leqslant \alpha \leqslant a'') \and (b' \leqslant \beta \leqslant b'') \Rightarrow (a' + b' \leqslant \alpha + \beta \leqslant a'' + b'')

Теорія фундаментальних послідовностей Кантора[ред.ред. код]

У підході Кантора дійсне число розглядається як границя послідовності раціональних чисел. Для того, щоб послідовність раціональних чисел збігалась, на неї накладається умова Коші:


\forall \varepsilon > 0 \; \exists N(\varepsilon): \; \forall n > N(\varepsilon) \; \forall m > 0 \quad| a_{n+m} - a_n | < \varepsilon

Суть цієї умови в тому, що члени послідовності, починаючи з деякого номеру лежатимуть як завгодно близько один до одного. Послідовності, які задовільняють умову Коші, називаються фундаментальними.

Дійсне число, яке визначається фундаментальною послідовністю раціональних чисел \{a_n\}, позначимо [a_n].

Два дійсних числа

\alpha = [a_n] і \beta = [b_n],

визначені відповідно фундаментальними послідовностями \{a_n\} і \{b_n\}, називаються рівними, якщо


\lim_{n \to \infty} \left ( a_n - b_n\right ) = 0

Якщо задані два дійсних числа \alpha = [a_n] і \beta = [b_n], то їх сумою і добутком називаются числа, визначені відповідно сумою і добутком послідовностей \{a_n\} і \{b_n\}:


\alpha + \beta\, \overset{\text{def}}{=}\, [a_n + b_n] \qquad \alpha \cdot \beta \, \overset{\text{def}}{=}\, [a_n \cdot b_n]

Відношення порядку на множині дійсних чисел встановлюється за допомогою такої домовленості: число \alpha=[a_n] за означенням більше числа \beta=[b_n], тобто \alpha > \beta, якщо


\exists \varepsilon > 0 \; \exists N: \; \forall n > N \; a_n \geqslant b_n + \varepsilon

Спосіб побудови множини дійсних чисел за допомогою фундаментальних послідовностей раціональних чисел є частковим випадком побудови поповнення довільного метричного простору. Як і в загальному випадку, отримана в результаті поповнення множина дійсних чисел вже є повною, тобто містить в собі границі всіх фундаментальних послідовностей своїх елементів.

Аксіоматика множини дійсних чисел[ред.ред. код]

Побудувати множину дійсних чисел можна різними способами. В теорії Кантора дійсні числа — класи еквівалентних фундаментальних послідовностей раціональних чисел, в теорії Вейєрштрасса — нескінченні десяткові дроби, в теорії Дедекінда — перерізи в області раціональних чисел. У всіх цих підходах в результаті отримуємо деяку множину об'єктів (дійсних чисел), які володіють певними властивлостями: їх можна додавати, множити, порівнювати між собою. Більш того, оскільки встановлені властивості цих об'єктів, то можна більше не апелювати до тих конкретних конструкції, з допомогою яких вони були побудовані.

В математиці важлива не конкретна природа об'єктів, а тільки математичні співвідношення, які існують між ними.

Іншими словами, саме поняття дійсного числа визначається існуючими для нього математичними співвідношеннями. Якщо вони встановлені, то визначено і поняття дійсного числа. В цьому і полягає аксіоматичний підхід до означення дійсного числа, як множини елементів, які володіють деякими наперед заданими властивостями. А класи фундаментальних послідовностей раціональних чисел, нескінченні десяткові дроби, перерізи в області раціональних чисел є лиш конкретними реалізаціями, моделями дійсного числа.

Отже

Множина \R називається множиною дійсних чисел, а її елементи — дійсними числами, якщо виконаний певний комплекc умов, який називається аксіомами дійсних чисел:

Аксіоми поля[ред.ред. код]

Докладніше: Поле (алгебра)

На множині \R визначено відображення (операція додавання)

+ : \R \times \R \to \R

яка кожній впорядковані парі елементів a, b з \R ставить у відповідність деякий елемент c з тієї ж множини \R, який називається сумою елементів a і b (a+b еквівалентний запис елемента c множини \R, c=a+b).

Також, на множині \R визначено відображення (операція множення)

\cdot : \R \times \R \to \R

яке кожній впорядкованій парі елементів a, b із \R ставить у відповідність деякий елемент a \cdot b, який називається добутком a і b.

При цьому виконуються такі властивості:

\text{I}_{1}. Комутативність додавання. Для довільних a, b \in \R

a + b = b + a
\text{I}_{2}. Асоціативність додавання. Для довільних a, b, c \in \R

a + (b + c) = (a + b) + c
\text{I}_{3}. Існування нейтрального елемента відносно додавання. Існує елемент 0 \in \R, який називається нулем, такий, що для довільного a \in \R

a + 0 = a
\text{I}_{4}. Існування оберненого елемента відносно додавання. Для довільного a \in \R існує елемент -a \in \R, який називається протилежним до a, такий, що

a + (-a) = 0
\text{I}_{5}. Комутативність множення. Для довільних a, b \in \R

a \cdot b = b \cdot a
\text{I}_{6}. Асоціативність множення. Для довільних a, b, c \in \R

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c
\text{I}_{7}. Існування нейтрального елемента відносно множення. Існує елемент 1 \in R, який називається одиницею, такий, що для довільного a \in R

a \cdot 1 = a
\text{I}_{8}. Існування оберненого елемента відносно множення. Для довільного a \in \R, a \neq 0, існує елемент a^{-1} \in \R, який також позначається 1 / a і називається оберненим до a, такий, що

a \cdot a^{-1} = 1
\text{I}_{9}. Дистрибутивний закон множення відносно додавання (правило розкриття дужок). Для довільних a, b, c \in \R

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
\text{I}_{10}. Нетривіальність поля. Одиниця і нуль — різні елементи \R:

1 \neq 0

На основі операцій додавання та множення вводять додаткові операції на множині дійсних чисел

a-b \; \overset{\text{def}}{=} \; a +(-b)

\frac{a}{b} \; \overset{\text{def}}{=} \; a\cdot b^{-1}

Тобто віднімання деякого числа b це додавання протилежного до b елемента, а ділення на b — множення на обернений елемент до b.

Аксіоми порядку[ред.ред. код]

Докладніше: Впорядковане поле

Між елементами \R визначено відношення порядку \leqslant, тобто для довільної впорядкованої пари елементів a,b із \R встановлено, чи виконується відношення a \leqslant b чи не виконується. При цьому справджуються такі властивості:

\text{II}_{1}. Рефлексивність. Для довільного a \in \R

a \leqslant a

\text{II}_{2}. Антисиметричність. Для довільних a, b \in \R

(a \leqslant b) \and (b \leqslant a) \Rightarrow (a = b)

\text{II}_{3}. Транзитивність. Для довільних a, b, c \in \R

(a \leqslant b) \and (b \leqslant c) \Rightarrow (a \leqslant c)

\text{II}_{4}. Линійная впорядкованість. Для довільних a, b \in \R

(a \leqslant b) \or (b \leqslant a)

\text{II}_{5}. Зв'язок між додаванням і порядком. Для довільних a, b, c \in \R

(a \leqslant b) \Rightarrow (a + c \leqslant b + c)

\text{II}_{6}. Зв'язок між множенням і порядком. Для довільних a, b \in \R

(0 \leqslant a) \and (0 \leqslant b)\Rightarrow (0 \leqslant a \cdot b)

На основі відношення порядку \leqslant означують інші відношення між дійсними числами:

(b\geqslant a) \; \overset{\text{def}}{\Leftrightarrow} \; (a \leqslant b)

(a<b) \; \overset{\text{def}}{\Leftrightarrow} \; (a \leqslant b)\and (a\neq b)

(b>a) \; \overset{\text{def}}{\Leftrightarrow} \; (a < b)

Також, для довільного впорядкованого поля можна ввести поняття абсолютної величини його елементів. Для довільного дійсного числа a дійсне число, яке позначається |a| і визначене формулою

|a|=\left\{\begin{array}{ll}a, &  a\geqslant 0,\\-a, &  a< 0,\end{array}\right.

називається абсолютною величиною або модулем числа a.

Аксіоми неперервності[ред.ред. код]

\text{III}_{1}. Які б не були непорожні множини A \subset \mathbb{R} і B \subset \mathbb{R} такі, що для довільних двох елементів a \in A і b \in B виконується нерівність a \leqslant b, існує таке число \xi \in \R, що для всіх a \in A і b \in B виконуються нерівності
a \leqslant \xi \leqslant b

Аксіома \text{III}_{1} може бути замінена на наступні два твердження:

\text{III}_{1}'. Аксіома Архімеда. Нехай a,b\in \mathbb{R},\,a > 0 и b > 0. Тоді взявши елемент a доданком достатню кількість разів, можна перевершити b:

a + a + \ldots + a > b

Поле для якого виконується аксіома Архімеда називається архімедовим. Прикладом неархімедового поля є, наприклад, поле p-адичних чисел.

\text{III}_{2}'. Аксіома повноти (в сенсі Гільберта). Систему \R неможливо розширити до жодної іншої системи \R^{*} так, щоб при збереженні попередніх відношень між елементами \R, для \R^{*} виконувались б всі аксіоми \text{I}\text{II}, \text{III}_{1}'..

Цих аксіом достатньо, щоб строго вивести всі відомі властивості дійсних чисел. Множина елементів, для яких виконуються наведені вище аксіоми називається неперервним впорядкованим полем.

Наслідки з аксіом множини дійсних чисел[ред.ред. код]

  • (єдиність нуля) \exists ! \, 0\in \mathbb{R}
  • (єдиність протилежного елемента) \forall a\in \mathbb{R} \quad\exists ! \, (-a)\in \mathbb{R}
  • \forall a,b\in \mathbb{R}  \quad \exists ! \, x\in \mathbb{R} \quad \rightarrow \quad a+x=b
  • (єдиність одиниці) \exists ! \, 1\in \mathbb{R}
  • (єдиність оберненого елемента) \forall a\in \mathbb{R}\setminus\{0\} \quad \exists ! \, a^{-1}\in \mathbb{R}
  • \forall a\in \mathbb{R}\setminus\{0\} \quad \forall b\in \mathbb{R} \quad \exists ! \, x\in \mathbb{R} \quad \rightarrow\quad a\cdot x=b
  • \forall a \in \R \quad a\cdot 0=0
  • \forall a,b \in \R \quad a\cdot b=0 \quad \rightarrow\quad (a=0)\or(b=0)
  • \forall a \in \R \quad (-1)\cdot a = -a
  • \forall a \in \R \quad (-1)\cdot (-a) = a
  • \forall a \in \R \quad (-a)\cdot (-a)=a\cdot a
  • Для довільних a,b \in \R виконується одне і лише одне зі співвідношень
1) a<b; \quad 2)a=b; \quad 3) a>b.
  • \forall a,b,c \in\mathbb{R}\quad (a<b)\and (b\leqslant c) \Rightarrow (a<c)
  • \forall a,b,c \in\mathbb{R}\quad (a<b)\and (b<c) \Rightarrow (a<c)
  • \forall a,b,c \in\mathbb{R}\quad (a<b) \Rightarrow (a+c<b+c)
  • \forall a,b,c,d \in\mathbb{R}\quad (a\leqslant b)\and (c\leqslant d) \Rightarrow (a+c\leqslant b+d)
  • \forall a,b,c,d \in\mathbb{R}\quad (a\leqslant b)\and (c< d) \Rightarrow (a+c< b+d)
  • \forall a \in\mathbb{R} \quad (0<a) \Rightarrow (-a<0)
  •  (0<a)\and (0<b) \Rightarrow (0<a\cdot b)
  •  (a<0)\and (b<0) \Rightarrow (a\cdot b>0)
  •  (a<0)\and (0<b) \Rightarrow (a\cdot b<0)
  •  (a<b)\and (0<c) \Rightarrow (a\cdot c < b\cdot c)
  •  (a<b)\and (c<0) \Rightarrow (a\cdot c > b\cdot c)
  •  (0<1)
  •  (0<a)\Rightarrow (0<a^{-1})


Класи дійсних чисел[ред.ред. код]

  • Підмножина дійсних чисел вигляду \{1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1, \ldots \} = \{1, 2, 3, 4, \ldots \} називається множиною натуральних чисел і позначається \mathbb{N};
  • Підмножина \mathbb{Z}= \{-\mathbb{N}\}\cup \{0\}\cup \mathbb{N}, де \{-\mathbb{N}\} множина чисел протилежних до натуральних, — називається множиною цілих чисел;
  • Підмножина \mathbb{Q}= \{q=m\cdot n^{-1}, m\in \mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}\} називається множиною раціональних чисел;
  • Підмножина \mathbb{I}=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} — множина ірраціональних чисел;
  • Якщо a\in\mathbb{R} і a<0, то кажуть, що число a — від'ємне;
  • Якщо a\in\mathbb{R} і a> 0, то кажуть, що число a — додатне;
  • Якщо a\in\mathbb{R} і a\leqslant 0, то кажуть, що число a — недодатне;
  • Якщо a\in\mathbb{R} і a\geqslant 0, то кажуть, що число a — невід'ємне;

Зв'язок з раціональними числами[ред.ред. код]

Очевидно, що на числовій прямій раціональні числа розміщені вперемішку з дійсними, причому множина дійсних чисел «щільніша» ніж множина раціональних. Виникає питання, як часто на числовій прямій зустрічаються раціональні і дійсні числа та чи можна одні числа наблизити іншими. Відповідь на це питання дають три наступні леми, які грунтуються, в основному, на аксіомі Архімеда.[13]

Лема 1. Для довільного дійсного числа і для довільного наперед взятого додатнього раціонального числа \varepsilon знайдеться пара раціональних чисел, які знаходяться один від одного на відстані менш, ніж \varepsilon, таких, що дійсне число лежить на відрізку між цими раціональними числами.

\forall a \in \mathbb{R} \quad \forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+ \quad \exists q_1,q_2 \in \mathbb{Q}: ~ (q_1 \leqslant a \leqslant q_2) \land (q_2 - q_1 < \varepsilon)

Іншими словами, будь-яке дійсне число можна з заданою точністю з двох боків наблизити раціональними числами.

Лема 2. Між будь-якими двома різними дійсними числами міститься раціональне число.

\forall a,b \in \mathbb{R}: ~ a< b \quad \exists q \in \mathbb{Q}: a < q < b

Як наслідок отримуємо, що між будь-якими двома різними дійсними числами міститься нескінченно багато раціональних. Крім того, очевидно, що між будь-якими двома різними раціональними числами міститься дійсне. Будь-який відрізок числової прямої містить як раціональні так і ірраціональні точки.

Лема 3. Наближення дійсного числа раціональним, описане в лемі 1, ідентифікує дійсне число єдиним чином.

\forall a,b \in \mathbb{R} \quad (\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+ \,\, \exists q_1,q_2 \in \mathbb{Q}: ~ (q_1 \leqslant a \leqslant q_2) \land (q_1 \leqslant b \leqslant q_2) \land (q_2 - q_1 < \varepsilon))\quad \Rightarrow \quad a = b

Піднесення до степеня та добування кореня[ред.ред. код]

Для довільного a\in\mathbb{R} та довільного n\in\mathbb{N} операція піднесення до степеня визначається так:

 a^n \, \overset{\text{def}}{=} \, \underbrace{a\cdot a \cdots a}_n,\quad a^0\, \overset{\text{def}}{=} \, 1,\quad a^{-n} \, \overset{\text{def}}{=} \,\frac{1}{a^n}.


Число b\in\mathbb{R} таке, що b^n=a,\, n\in\mathbb{N}, називається коренем n-го степеня числа a\in\mathbb{R} і позначається \sqrt[n]{a}, тобто

 (\sqrt[n]{a})^n \, \overset{\text{def}}{=} \, a

Для довільного дійсного a\geqslant 0 та довільного натурального n, завжди існує дійсне число b\geqslant 0 таке, що b=\sqrt[n]{a}. Цей факт можна довести використовуючи, наприклад, перерізи Дедекінда. З наслідків аксіом поля дійсних чисел випливає, що корінь парного порядку з від'ємних дійсних чисел не існує (не належить до множини дійсних чисел).

Нехай a>0 і q\in\mathbb{Q}, тобто q=m/n, m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}, тоді

 a^q \, \overset{\text{def}}{=} \,\sqrt[n]{a^m}, \qquad a^{-q}\, = \,\frac{1}{a^q}.

На основі означення степеня з раціональним показником, можна за неперервністю ввести поняття степеня з довільним дійсним показником (див. Показникова функція).

Властивості[ред.ред. код]

  • За алебраїчною структурою множина дійсних чисел є неперервним впорядкованим полем. Більше того, множина дійсних чисел — максимальне архімедове впорядковане поле, тобто будь-яке архімедове поле ізомрофне деякій підмножині дійсних чисел.
  • Множина дійсних чисел утворює метричний простір, де відстанню між числами x і y є модуль їх різниці, |x-y|. Як метричний простір множина дійсних чисел є повною — довільна фундаментальна послідовність дійсних чисел є збіжною до деякого дійсного числа.
  • Як впорядкована множина, дійсні числа успадковують порядкову топологію, яка є ідентичною до топології відкритих інтервалів, яка породжується метрикою. Теорія перерізів Дедекінда використовує порядкову топологію, теорія Кантора — топологію відкритих інтервалів.
  • На множині дійсних чисел задають стандартну міру, міру Лебега, яка є частковим випадком міри Хаара множини дійсних чисел, як топологічної групи відносно операції додавання, нормованої так, щоб міра інтервалу [0,1] дорівнювала одиниці. Існують множини дійсних чисел, які не є вимірними за Лебегом.
  • Множина раціональних чисел як підмножина дійсних має Лебегову міру нуль, тобто майже всі дійсні числа є ірраціональними. Більше того, майже всі дійсні числа є транцендентними.
  • На множині дійсних чисел однозначно розв'язне рівняння вигляду a\cdot x+b=c,\, a,b,c\in\mathbb{R}, однак поле дійсних чисел не є алгебрично замкнуте поле — існують многочлени з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів (наприклад, x^2+1=0).


Узагальнення[ред.ред. код]

Поняття дійсного числа може бути узагальнене та розширене різними способами. Однак, зауважимо, що внаслідок аксіоми повноти будь-яке розширення множини дійсних чисел приводить до втрати деяких властивостей (наприклад нова множина може не бути полем чи не мати відношення порядку), але, з іншого боку, добавляє деякі важливі властивості.

  • Дійсна проективна пряма[en](одновимірний дійсний проективний простір)  — одноточкова компактифікація дійсної прямої, яка утворюється додаванням точки \infty, дійсний одновимірний аналог сфери Рімана. Має специфічну структуру, відмінну від розширеної числової прямої та числової прямої. Не є полем, не впорядкована (наприклад, нерівності 3<4 і 3>4 справджуються одночасно), однак є компактним простором. Дозволене ділення на нуль.
  • Інтервальні числа[ru] — узагальнення дійсних чисел, де роль числа відіграє відрізок дійсної прямої. Для відрізків вводяться поняття арифметичних дій з відповідними властивостями, які у випадку, коли відрізок вироджується в одне число співпадають з аналогічними правилами для чисел. Використовуються переважно в теорії наближених обчислень.
  • Самоспряжені оператори у гільбертовому просторі узагальнюють дійсні числа у багатьох відношеннях. Вони можуть бути впорядкованими (однак не лінійно впорядкованими), вони є повними (замкнутими відносно граничного переходу), всі їхні власні значення є дійсними, а також вони утворюють дійсну асоціативну алгебру. Частковим випадком таких операторів є ермітові матриці. Зв'язок дійсних чисел і самоспряжених операторів має і фізичне відображення — всі спостережувані величини квантово-механічних систем (ті, які ми вимірюємо приладами і моделлю яких у класичній фізиці є дійсні числа), є власними значеннями відповідного самоспряженого оператора.

Використання[ред.ред. код]

Математична модель дійсних чисел широко використовується в науці і техніці для вимірювання величин, які неперервно змінюються. Однак це не є її головним застосуванням, тому що виміряні величини завжди мають скінченне число десяткових знаків, тобто є раціональними числами (крім того, при вимірювання завжди присутня похибка — неперервність дійсних чисел гарантує, що точне значення вимірюваної величини знаходиться в знайденому околі). Основне призначення цієї моделі — бути базою для аналітичних методів досліджень. Величезний успіх цих методів за останні три століття показав, що модель дійсних чисел в більшості випадків достатньо адекватно відображає структуру неперервних фізичних величин.

Це, звісно, не означає, що дійсна числова пряма є точним образом реальної неперервної величинт. Наприклад, сучасній науці поки що не відомо, чи дискретний простір и час чи подільні необмежено; однак навіть у другому випадку модель дійсних чисел для цих величин може розглядатися як наближена, оскільки поняття точки простору і моменту час є по суті ідеалізації, які не мають реального аналога. Це фундаментальне питання є предметом широких дискусій в науці, починаючи з апорій Зенона. Наближеною ця модель є і при застосуванні до величин, які в класичній фізиці вважались неперервними, але в дійсності виявились дискретними (квантовими). Наприклад, в наслідок виконання принципу невизначеностей Гейзенберга, а також неможливості вимірювання відстаней менше планківської довжини квантові величини точніше моделюються неархімедовими полями[14] (поле дійсних чисел є архімедовим).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 147.
  2. История математики. — Т. I С. 96-101.
  3. а б Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 150-151.
  4. История математики. — Т. I С. 190-191, 304-305.
  5. История математики. — Т. II С. 35.
  6. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — С. 154.
  7. Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей. — Под ред. Юшкевича А. П.. — М.: Просвещение, 1977. — С. 171-178.
  8. Бернард Больцано.Парадоксы бесконечного.
  9. Рыхлик Карел. Теория вещественных чисел в рукописном наследии Больцано // ИМИ, 1958. № 11. С. 515–532.
  10. Рыбников К. А. История математики. — 1963 Т. 2. — С. 196.
  11. дійсне число може бути записане у вигляді десяткового дробу не єдиним чином
  12. Оскільки на множині дійсних чисел вже введено відношення лінійного порядку, то ми можемо означити топологію числової прямої: в якості відкритих множин візьмемо всеможливі об'єдинання інтервалів вигляду \{x: \alpha < x < \beta\}
  13. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. . Математический анализ.. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7
  14. Владимиров B.C., Волович И.В., Зеленов Е.И. P-адический анализ и математическая физика. — М.: Физматлит, 1994. — 352 с.

Література[ред.ред. код]

  • Заболоцький М.В., Сторож О.Г., Тарасюк С.І. Математичний аналіз: Підручник. — Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка, 2007. — 416 с. — ISBN 978-966-613-512-9
  • Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, том І. — М.: Высшая школа, 1981. — 687 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. — 4-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2002. — XVI+664 с. — ISBN 5-94057-056-9
  • Рыбников К. А. История математики. — М.: Изд-во Моск. Университета., 1963. — Т. 2. — 336 с.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність