Миттєвий центр швидкостей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Миттєвий центр швидкостей P для випадку плоско паралельного руху

Миттє́вим це́нтром швидкосте́й (МЦШ) називається точка рухомої плоскої фігури, що здійснює плоскопаралельний рух, швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю \left( \vec V_P =0 \right). Вказана точка може бути розташована або на самій рухомій фігурі, або на її уявному продовженні.

Доведення[ред.ред. код]

Доведення існування миттєвого центру швидкостей при плоскопаралельному русі

Нехай задано фігуру S, що здійснює плоский рух і швидкість \vec V_A деякої точки А цієї фігури вважається відомою а також, кутова швидкість \vec {\omega} обертання фігури.

Якщо побудувати у точці А перпендикуляр до вектора швидкості \vec V_A, який напрямлений у бік отриманий поворотом вектора швидкості за напрямком обертання фігури і відкласти на цьому перпендикулярі відрізок довжиною AP = \frac {V_A}{\omega}, то обравши точку А за полюс, швидкість точки Р даної фігури буде визначатись за допомогою наступного векторного рівняння:

\vec V_P = \vec V_A + \vec V_{PA}.

З цього виразу знайдемо швидкість \vec V_{PA}. Вона буде дорівнювати:

 \left | \vec V_{PA} \right| = \omega \cdot AP = \omega \frac {\left | \vec V_A \right |}{\omega} = \left | \vec V_{A} \right |.

Вектор швидкості \vec V_{PA} буде спрямований протилежно до вектора швидкості \vec V_A, тобто

\vec V_{PA} = \vec V_A..

Тоді, з врахуванням цього, з виразу для швидкості точки P отримаємо:

\vec V_P = \vec V_A - \vec V_A = 0.

Таким чином, швидкість точки P дорівнює нулю, чим і доведено існування миттєвого центру швидкостей (МЦШ).

Можна довести, що при плоскопаралельному непоступальному русі плоскої фігури в кожний момент часу існує, і при тому єдина, точка з нульовою швидкістю.

Абсолютні значення швидкостей всіх точок плоскої фігури будуть прямо пропорційними їх відстаням до МЦШ, а напрями векторів швидкостей будуть перпендикулярними до прямих, які з'єднують ці точки з МЦШ. Саме тому МЦШ називають також миттєвим центром обертання.

Теорема Ейлера-Шаля[ред.ред. код]

Центроїди при плоскопаралельному русі

Рух плоскої фігури в її площині уявляється як неперервна послідовність миттєвих обертань навколо відповідних миттєвих центрів обертань (МЦО). За теоремою Ейлера-Шаля плоский рух уявляється як обертальний рух навколо миттєвого центра обертань, або центра швидкостей.

Миттєвим центром обертань є точка нерухомої площини, з якою у даний момент часу збігається миттєвий центр швидкостей (МЦШ).

Згідно з теоремою обертання Ейлера, будь-яке обертове тривимірне тіло, що має нерухому точку, також має і вісь обертання. Таким чином, у загальнішому випадку обертання тривимірного тіла говорять про миттєву вісь обертання. Миттєвий центр обертання є точкою перетину миттєвої осі обертань з площиною руху.

Будь-який неперервний рух плоскої фігури в її площині можна одержати, якщо побудувати рухому і нерухому центроїди, жорстко з'єднати першу з них з плоскою фігурою і котити без ковзання рухому центроїду по нерухомій.

Центроїдою називається геометричне місце миттєвих центрів швидкостей (МЦШ).

При плоскопаралельному русі утворюються дві центроїди, оскільки миттєвий центр швидкостей описує одну криву в нерухомій системі координат, а другу в рухомій. Нерухома центроїда — це траєкторія миттєвого центра швидкостей на нерухомій площині, рухома центроїда — це траєкторія миттєвого центра швидкостей на рухомій площині. Рухома центроїда PN котиться без ковзання по нерухомій PL (див. рисунок). Поняття про центроїди широко застосовується у теорії машин і механізмів при профілюванні зубчатих коліс.

Полюсом є миттєвий центр швидкостей (МЦШ), тобто така точка Р рухомої площини, жорстко скріплена з фігурою, швидкість якої в певний момент часу дорівнює нулю: \vec V_P = 0.

Тоді V_B = V_{BP} = \left| \omega \right| \cdot BP, тобто швидкість будь-якої точки фігури дорівнює за величиною добутку модуля кутової швидкості фігури на відстань від цієї точки до МЦШ та спрямована перпендикулярно до цього відрізку \left(\vec V_B \perp BP \right) проти ходу годинникової стрілки, якщо \omega > 0 і навпаки.

Розподіл миттєвих швидкостей точок плоскої фігури такий, немовби фігура оберталася навколо МЦШ (точка Р). З цього маємо співвідношення

\frac{V_B}{V_A} = \frac{BP}{AP}.

. Отже, відношення швидкостей двох точок плоскої фігури дорівнює відношенню їхніх відстаней до миттєвого центра швидкостей, або

\frac{V_A}{AP} = \frac {V_B}{BP} = \cdots = \left| \omega \right|.

Випадки знаходження миттєвого центра швидкостей плоскої фігури[ред.ред. код]

Випадок 1 (загальний)[ред.ред. код]

У загальному випадку (див. рисунок вгорі) для знаходження МЦШ потрібно знати лише напрям швидкостей двох точок фігури. Для цього з початку векторів швидкостей зазначених двох точок (наприклад А, В і C) проводимо перпендикуляри. У точці перетину цих перпендикулярів і знаходиться миттєвий центр швидкостей (точка Р).

Кутова швидкість плоскої фігури у кожний момент часу дорівнює відношенню швидкості будь-якої точки фігури до її відстані до МЦШ:

\omega = \frac {V_A}{AP} = \frac {V_B}{BP} = \frac {V_C}{CP} = \cdots
Часткові випадки знаходження МЦШ

Випадок 2 (для двох паралельних однонаправлених швидкостей)[ред.ред. код]

Відомі за величиною швидкості двох точок А і В фігури, які паралельні одна одній, напрямлені в один бік і перпендикулярні до прямої АВ \left( \vec V_A || \vec V_B \right) (варіант а на рисунку).

МЦШ (точка Р) знаходиться в точці перетину прямої АВ і прямої, що з'єднує кінці векторів швидкостей точок А і В:

\omega_{AB} = \frac{V_A}{AP} = \frac {V_B}{BP};\quad \left(V_B \perp AB,\quad V_A \perp AB \right).

Випадок 3 (для двох протилежно направлених паралельних швидкостей)[ред.ред. код]

Якщо швидкості двох точок плоскої фігури напрямлені в різні боки і перпендикулярні до відрізка, що з'єднує ці точки, то миттєвий центр швидкостей лежить у точці перетину прямої, яка з'єднує кінці векторів швидкостей з наведеним вище відрізком (варіант б на рисунку).

Випадок 4 (для двох однакових паралельних однаково направлених швидкостей)[ред.ред. код]

Якщо швидкості двох точок плоскої фігури паралельні й рівні між собою, напрямлені в один бік, то миттєвий центр швидкості віддаляється на нескінченну велику відстань, тобто МЦШ відсутній, \omega = 0, і миттєві швидкості всіх точок фігури рівні між собою:\vec V_A = \vec V_B = \vec V_C = \cdots (варіант в на рисунку).

Це випадок миттєво-поступального руху тіла: відстань до МЦШ прямує до нескінченності і \omega = \frac {V_A}{\infty} = 0..

Миттєвий центр швидкостей (точка P) при коченні тіла

Випадок 5 (кочення без ковзання)[ред.ред. код]

У разі кочення без ковзання рухомого контуру плоскої фігури по нерухомому МЦШ лежить у точці дотику цих контурів. Кутова швидкість \omega = \frac {V_A}{AP};\quad V_B = \omega \cdot BP; \quad V_C = \omega \cdot CP.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. — К.: Техніка, 2002. — 512 с. ISBN 966-575-184-0.
  • Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1986. — 416 с.

Посилання[ред.ред. код]