Нотація Ейнштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Нотація Ейнштейна (Правило сумування Ейнштейна) — позначення підсумовування індексованих величин, при якому знак суми  \Sigma опускається.

Нотація була запроваджена Альбертом Ейнштейном для запису формул загальної теорії відносності в 1916 році. Пізніше вона поширилася на інші галузі фізики й математики.

При застосуванні нотації Ейнштейна діє правило: якщо індекс повторяється внизу і вгорі, тобто, як коваріантний і контраваріантний, то це означає підсумовування. Наприклад,

 a_ib^i = \sum_{i= 0}^3 a_ib^i  ,

де  a_i та  b_i - довільні 4-вектори.

Нотація може застосовуватися і до одного 4-тензора. Так, позначення  T_i^i - означає суму діагональних елементів 4-тензора  T_i^j .

В тензорному аналізі, зокрема в його додатках до загальної теорії відносності і диференційної геометрії, при записі виразів з багатокомпонентних величин, пронумерованих верхніми і нижніми індексами (тензорів), для економії запису зручно використовувати правило, назване правило сумування Ейнштейна: якщо одна і та ж буква в позначенні індексу зустрічається і зверху, і знизу, то такий член вважається підсумованим по всіх значеннях цієї букви, наприклад у виразі

v_k= a_ib^i_k

Просторові індекси[ред.ред. код]

В теорії відносності діє також правило, за яким індекси 4-тензорів позначаються латинськими літерами. Якщо потрібно виділити тільки просторові компоненти 4-тензорів, то вживаються грецькі літери. Наприклад, позначення  g^{0\alpha} - означає звичайний вектор у тривимірному просторі, компоненти якого складені з компонент 4-тензора g^{ij}

 g^{0\alpha} = (g^{01}, g^{02}, g^{03}) .

Відповідно, повторення грецьких індексів вгорі й унизу означає підсумовування по цих індексах:

 a_{\alpha}b^{\alpha} = \sum_{\alpha = 1}^3 a_{\alpha}b^{\alpha} .
Наука Це незавершена стаття з науки.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.