4-тензор

4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

$A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{j_1 j_2 \ldots j_m}$

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом

$A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{\prime j_1 j_2 \ldots j_m} = \beta_{j_1 k_1} \beta_{j_2 k_2} \ldots \beta_{j_m k_m} \alpha_{i_1 l_1} \alpha_{i_2 l_2} \ldots \alpha_{i_n l_n} A_{l_1 l_2 \ldots l_n}^{k_1 k_2 \ldots k_m}$,

де $\alpha_{ij}$ — матриця повороту, $\beta_{ij}$ — обернена їй.

Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора $\hat{g}$, наприклад для 4-тензора другого рангу

$A^{ij} = g^{jk} A^i_k$

Приклади

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Тензор електромагнітного поля

Докладніше у статті Тензор електромагнітного поля

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу:

$F_{ik} = \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k}$.

Визначення через тривимірні вектори

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:

$F_{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\ -E_x & 0 & -H_z & H_y \\ -E_y & H_z & 0 & -H_x \\ -E_z & -H_y & H_x & 0 \end{matrix} \right)$

$F^{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -H_z & H_y \\ E_y & H_z & 0 & -H_x \\ E_z & -H_y & H_x & 0 \end{matrix} \right)$

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила Лоренца

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

$m c \frac{du^i}{ds} = \frac{q}{c}F^{ik}u_k$,

де $u^k$ — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Див. також

• Тривимірні тензори всередині чотиривимірних