4-тензор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

 A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{j_1 j_2 \ldots j_m}

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом[1]

 A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{\prime j_1 j_2 \ldots j_m} = \beta_{j_1 k_1} \beta_{j_2 k_2} \ldots \beta_{j_m k_m} \alpha_{i_1 l_1} \alpha_{i_2 l_2} \ldots \alpha_{i_n l_n} A_{l_1 l_2 \ldots l_n}^{k_1 k_2 \ldots k_m} ,

де  \alpha_{ij} матриця повороту,  \beta_{ij} — обернена їй.

Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора  \hat{g} , наприклад для 4-тензора другого рангу

 A^{ij} = g^{jk} A^i_k

Приклади[ред.ред. код]

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Тензор електромагнітного поля[ред.ред. код]

Докладніше у статті Тензор електромагнітного поля

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал[ред.ред. код]

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу[2]:

 F_{ik} = \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k} .

Визначення через тривимірні вектори[ред.ред. код]

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:


F_{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -H_z & H_y \\
-E_y & H_z & 0 & -H_x \\
-E_z & -H_y & H_x & 0
 \end{matrix}  \right)

F^{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\
E_x & 0 & -H_z & H_y \\
E_y & H_z & 0 & -H_x \\
E_z & -H_y & H_x & 0
 \end{matrix}  \right)

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила Лоренца[ред.ред. код]

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

 m c \frac{du^i}{ds} = \frac{q}{c}F^{ik}u_k,

де  u^k  — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Тут, як заведено в теорії відносності, знак суми опускається — повторення індекса внизу і вгорі означає підсумовування
  2. Формули на цій сторінці записані у системі одиниць СГСГ.