Ортонормований базис

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.

Загальне твердження[ред.ред. код]

В кожному гільбертовому просторі \mathcal{U}, ортонормована система векторів \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам[1]:

  1. Довільний вектор \mathbf{a}\in\mathcal{U} може бути записано у вигляді:
    \mathbf{a} = \hat\alpha_1\mathbf{u}_1 + \hat\alpha_2\mathbf{u}_2 + \dots, де \hat\alpha_k = (\mathbf{u}_k, \mathbf{a}) (k = 1, 2, …)
  2. Для будь якого вектора \mathbf{a} = \hat\alpha_1\mathbf{u}_1 + \hat\alpha_2\mathbf{u}_2 + \dots
    \|\mathbf{a}\|^2 = |\hat\alpha_1|^2 + |\hat\alpha_2|^2 + \dots(рівність Персеваля)
  3. Для довільної пари векторів \mathbf{a} = \hat\alpha_1\mathbf{u}_1 + \hat\alpha_2\mathbf{u}_2 + \dots та \mathbf{b} = \hat\beta_1\mathrm{u}_1 + \hat\beta_2\mathrm{u}_2 + \dots
    (\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \bar\hat\alpha_1\beta_1 + \bar\hat\alpha_2\beta_2 + \dots
  4. Ортонормована система u1, u2, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору \mathcal{U}. Для довільного вектора  a \in \mathcal{U} із (uk, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.

Примітки[ред.ред. код]

Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами âk то ǁaa' ǁ = 0 (теорема єдиності).

Джерела інформації[ред.ред. код]

  1. Корн Г., Корн Т. (1984). «14.7-4». Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 

Дивіться також[ред.ред. код]