Ортонормований базис

В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис.

Загальне твердження

В кожному гільбертовому просторі $\mathcal{U}$, ортонормована система векторів $\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \dots$ утворює ортонормований базис тоді і тільки тоді, коли вона задовільняє наступним умовам:

1. Довільний вектор $\mathbf{a}\in\mathcal{U}$ може бути записано у вигляді:
   $\mathbf{a} = \hat\alpha_1\mathbf{u}_1 + \hat\alpha_2\mathbf{u}_2 + \dots$, де $\hat\alpha_k = (\mathbf{u}_k, \mathbf{a})$ (k = 1, 2, …)
2. Для будь якого вектора $\mathbf{a} = \hat\alpha_1\mathbf{u}_1 + \hat\alpha_2\mathbf{u}_2 + \dots$
   $\|\mathbf{a}\|^2 = |\hat\alpha_1|^2 + |\hat\alpha_2|^2 + \dots$(рівність Персеваля)
3. Для довільної пари векторів $\mathbf{a} = \hat\alpha_1\mathbf{u}_1 + \hat\alpha_2\mathbf{u}_2 + \dots$ та $\mathbf{b} = \hat\beta_1\mathrm{u}_1 + \hat\beta_2\mathrm{u}_2 + \dots$
   $(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = \bar\hat\alpha_1\beta_1 + \bar\hat\alpha_2\beta_2 + \dots$
4. Ортонормована система u₁, u₂, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору $\mathcal{U}$. Для довільного вектора $a \in \mathcal{U}$ із (u_k, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

З кожної із цих чотирьох умов випливають три інших.

Примітки

Звернемо увагу на те, що якщо a та a' — два вектори з одними і тими ж координатами â_k то ǁa − a' ǁ = 0 (теорема єдиності).

Дивіться також

• Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі
• Векторний простір