Парадокс цікавих чисел
Парадо́кс ціка́вих чи́сел — напівгумористичний парадокс, який виникає через спроби класифікувати натуральні числа як «цікаві» та «нудні». Згідно з цим парадоксом, усі натуральні числа є цікавими. Доводять це твердження методом «від супротивного»: якщо існує непорожня множина нецікавих натуральних чисел, то в цій множині існує найменше число, але найменше нецікаве число вже саме собою цікаве — що й створює суперечність[1][2][3].
Доведення[ред. | ред. код]
Строгіше «доведення» парадоксу можна сформулювати так[3].
Теорема. Нецікавих натуральних чисел немає.
Доведення. Припустимо, що теорема хибна, тобто існує множина натуральних чисел, які нецікаві. У зв'язку з тим, що множина натуральних чисел є цілком упорядкованою, має бути деяке найменше число в ряді нецікавих чисел. Число, яке має таку унікальну особливість, не можна вважати нецікавим, отже, воно не може перебувати в ряді нецікавих чисел.
Парадоксальний характер[ред. | ред. код]
Спроби поділити всі числа на «цікаві» та «нецікаві» ведуть до парадоксу або антиномії визначення. Будь-яка спроба поділу натуральних чисел на дві множини: «цікавих» і «нудних» веде до провалу. Оскільки визначення чогось цікавого є суб'єктивним, тут його можна розглянути як напівжартівливе застосування самореференції, використовуване для одержання парадоксу. Парадокс знімається, якщо поняття «цікаве» визначити об'єктивно, наприклад:
- найменше натуральне число, якому не присвячено сторінку у Вікіпедії[4];
- найменше число, відсутнє в інтернет-енциклопедії послідовностей цілих чисел[4][5][6][7];
- найменше число, що належить будь-якій послідовності або має будь-яку властивість
тощо.
Оскільки існує багато значущих робіт у галузі математики, які використовують самореференцію (наприклад теорема Геделя про неповноту), описуваний парадокс зачіпає серйозні проблеми в багатьох галузях досліджень.
Ця версія парадоксу поширюється лише на цілком упорядковані множини з природним порядком, такі як натуральні числа; аргумент незастосовний до дійсних чисел.
Одне із запропонованих вирішень парадоксу стверджує, що перше нецікаве число стає цікавим вже через одну цю обставину. Наприклад, якби 39 і 41 були двома нецікавими числами, число 39 можна було б вважати цікавим, тоді як 41 залишилося б нецікавим, адже воно не перше нецікаве число. Однак це вирішення є хибним, адже парадокс доводиться від супротивного: припустивши, що якесь число нецікаве, ми приходимо до того, що це саме число саме цим і цікаве, отже, нецікаве число не може існувати. Метою вирішень є, зокрема, не виявлення цікавих чи нецікавих чисел, але підняття питання про те, чи можуть числа мати такі властивості в принципі.
Слабке місце доведення — відсутність ясності щодо того, що вважати «цікавістю» числа. Однак, якщо покласти, що «предикат цікавості» пов'язаний з певним скінченним списком «цікавих властивостей натуральних чисел», і цей список містить у собі властивість «найменше число, яке не має жодної властивості з цього списку», виникає парадокс. Подібно до цього самореференція використовується в близькоспорідненому парадоксі Беррі. Оскільки парадокс лежить у визначенні поняття «цікаво», він застосовується лише до людей з певним поглядом на числа; якщо для когось усі числа видаються нецікавими і він не вважає цікавим факт, що нуль є першим нецікавим числом (у світогляді даної конкретної людини), тоді парадокс не виникає.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Математические головоломки и развлечения, 1999, с. 116-118.
- ↑ Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions, 1988, с. 148.
- ↑ а б The Grapes of Math, 2014, с. 238.
- ↑ а б The Grapes of Math, 2014, с. 319.
- ↑ Nathaniel Johnston (12 червня 2009). 11630 is the First Uninteresting Number. Архів оригіналу за 31 серпня 2010. Процитовано 2 грудня 2015.
- ↑ Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil (2 червня 2011). Sloane's Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS?. arXiv. Архів оригіналу за 25 грудня 2016. Процитовано 2 грудня 2015.
- ↑ Charles R Greathouse IV. Uninteresting numbers. CRG4.com. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 2 грудня 2015.
Література[ред. | ред. код]
- Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. с англ. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е изд., испр. и дополн. — М. : Мир, 1999. — 447 с. — ISBN 5-03-003340-8.
- Martin Gardner. Mathematical Puzzles and Diversions. — 1959. — ISBN 0-226-28253-8.
- Martin Gardner. Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Puzzles and Games. — University of Chicago Press, 1988. — P. 148, 150. — ISBN 0-226-28254-6.
- Alex Bellos[en]. The Grapes of Math: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life / illustrations by The Surreal McCoy. — 1st edition. — New York : Simon & Schuster, 2014. — 352 p. — ISBN 1451640129.