Переріз Дедекінда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.

Зміст

1 Визначення
2 Приклади
3 Див. також
4 Джерела

[ред.] Визначення

Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел $\Q$ на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина B — верхнім класом перерізу.

Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому

$A=\{a\in\Q: a<x\}, \quad B=\{b\in\Q: b\geq x\}.$

Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення переріза Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями:

A непорожня, $A\ne\emptyset;$
А не становить всю множину раціональних чисел, $A\ne\Q;$
А замкнута знизу, тобто якщо $a\in A$ та $~c<a,$ то $c\in A;$
А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого $a\in A$ знайдеться $c\in A, c>a.$

Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, у супротивному випадку — ірраціональному числу.

[ред.] Приклади

Дійсному числу $\sqrt 2$ відповідає наступний дедекіндовий переріз: $A=\{a\in\Q : a \leqslant 0 \lor a^2 < 2\}$ та $B=\{b\in\Q : b>0 \land b^2 \geqslant 2 \}\,$ . Інтуїтивно можна представити, що для визначення $\sqrt 2$ , ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше $\sqrt 2$ , та всі числа, що правіше $\sqrt 2$ ; тобто, $\sqrt 2$ є точною нижньою гранню множини $~B.$