Переріз Дедекінда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Dedekind cut sqrt 2.svg

Переріз Дедекінда — це конструкція з математичного аналізу запропонована Ріхардом Дедекіндом, за допомогою якої надається математично строге визначення дійсних чисел.

Визначення[ред.ред. код]

Переріз Дедекінда — це розбиття множини усіх раціональних чисел \Q на дві непорожні підмножини A та B із властивостями, що A не має найбільшого елемента і будь-яке число з множини A менше від будь-кого числа з множини B. Множина A називається нижнім класом перерізу, а множина Bверхнім класом перерізу.

Будь-яке раціональне число x призводить до переріза Дедекінда, у якому

 A=\{a\in\Q: a<x\}, \quad B=\{b\in\Q: b\geq x\}.

Оскільки множина B повністю визначена множиною A, а саме, B = Q\A, визначення переріза Дедекінда часто надається в термінах нижнього класу. Таким чином, переріз Дедекінда — це множина A раціональних чисел із властивостями:

  • A непорожня, A\ne\emptyset;
  • А не становить всю множину раціональних чисел, A\ne\Q;
  • А замкнута знизу, тобто якщо a\in A та ~c<a, то c\in A;
  • А не має найбільшого елемента, тобто для будь-якого a\in A знайдеться c\in A, c>a.

Перерізи Дедекінда утворюють множину R, на якій можуть бути визначені операції додавання та множення, а також поняття порядку. Таким чином множина R перетворюється на упорядковане поле дійсних чисел. Якщо у верхньому класі є найменше число, то такий переріз відповідає раціональному числу, у супротивному випадку — ірраціональному числу.

Приклади[ред.ред. код]

Дійсному числу \sqrt 2 відповідає наступний дедекіндовий переріз: A=\{a\in\Q : a \leqslant 0 \lor a^2 < 2\} та B=\{b\in\Q : b>0 \land b^2 \geqslant 2 \}\,. Інтуїтивно можна представити, що для визначення \sqrt 2, ми розділили множину раціональних чисел на дві частини: всі числа, що лівіше \sqrt 2, та всі числа, що правіше \sqrt 2; тобто, \sqrt 2 є точною нижньою гранню множини ~B.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]