Множення

3 × 4 = 12

4 торбинки, по 3 кульки в кожній дають разом 12 кульок.
4 кульки кожного із трьох кольорів теж разом дають 12.

Множення — бінарна операція над математичними об'єктами.

Операнди множення називаються множниками, результат — добутком.

Позначається хрестиком $\ 5\times 3,$ крапкою $\ 5\cdot 3,$ астериском $\ 5*3.$ В алгебраїчних виразах знак множення зазвичай опускається. Для позначення послідовного множення багатьох елементів використовується символ $\prod$.

Операція множення загалом має властивість асоціативності, але комутативність для неї не обов'язкова.

Множники можуть бути математичними об'єктами як однієї природи, так і різної. Добуток теж може бути математичним об'єктом зовсім іншого типу, відмінного від типу множників.

Визначення

Множення натуральних чисел

Операція множення натуральних чисел визначається через операцію додавання. Для того, щоб перемножити натуральне число $\ n$ на натуральне число $\ m$ необхідно обчислити суму, в якій число $\ n$ береться $\ m$ разів

$\ n \cdot m = n + n + \ldots + n.$

Наприклад,

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множення натуральних чисел комутативне: від перестановки множників добуток не міняється.

Множення цілих чисел

Множення цілих чисел зводиться до множення натуральних чисел — абсолютних величин цих чисел, а знак добутку визначається знаками множників. Добуток береться зі знаком «плюс», якщо обидва множники додатні або від'ємні, зі знаком «мінус», якщо множники мають різні знаки.

Результатом множення будь-якого числа на нуль є нуль.

Множення раціональних чисел

Для того, щоб помножити раціональне число $\frac{p_1}{q_1}$ на раціональне число $\frac{p_2}{q_2}$ потрібно перемножити чисельники і знаменники дробів. Чисельник добутку є добутком чисельників, знаменник — добутком знаменників. При можливості проводяться скорочення.

$\frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2}$

Множення ірраціональних чисел

Кожне ірраціональне число можна подати як границю певної раціональної послідовності.

Якщо ірраціональне число $a = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n$, а $b = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$, то

$ab = \lim_{n \rightarrow \infty} a_nb_n$

Множення комплексних чисел

Множення комплексних чисел визначається за формулою

$(x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1 y_2, x_1y_2+x_2y_1 )$,

або, в іншій формі запису,

$(x_1+ i y_1)\cdot(x_2 + i y_2) = x_1x_2 - y_1y_2 + i( x_1y_2+x_2y_1 )$,

Вектори

Для векторів існує кілька типів множення. Зокрема, вектор можна помножити на дійсне число. При цьому змінюється його довжина, і, при множенні на від'ємне число, напрямок (на протилежний).

Існують різні типи добутку двох векторів: скалярний добуток, векторний добуток, тензорний добуток (тензорний добуток векторів називається також діадним).

Матриці

Матриці можна перемножити між собою, якщо кількість стовпчиків у першій із них збігається із кількістю рядків у другій. Результатом множення є матриця із кількістю рядків, яка дорівнює кількості рядків у першому множнику, і кількістю стовпчиків, яка дорівнює кількості стовпчиків у другому множнику. Тобто, при перемножуванні матриці m×n на матрицю n×k утворюється матриця m×k. Елементи матриці добутку визначаються за формулою

$c_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj} \,$

Множення матриць не має властивості комутативності. В загальному випадку $AB \neq BA$.

Матрицю можна також помножити на число, при цьому кожен елемент матриці множиться на це число.

Оператори

Добутком двох операторів називають їхнє послідовне застосування. При дії оператора A на об'єкт f утворюється об'єкт Af. Якщо подіяти тепер на нього оператором B, то утвориться новий об'єкт, який можна трактувати як утворений із початкового об'єкта f дією оператора BA.

Множення операторів у загальному випадку не комутативне.

Дивіться також

• Таблиця множення
• Формули скороченого множення
• Додавання
• Віднімання
• Ділення

Джерела

• Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953.