Множення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
3 × 4 = 12
4 торбинки, по 3 кульки в кожній дають разом 12 кульок.
4 кульки кожного із трьох кольорів теж разом дають 12.

Множення — бінарна операція над математичними об'єктами.

Операнди множення називаються множниками, результат — добутком.

Позначається хрестиком \ 5\times 3, крапкою \ 5\cdot 3, астеріском \ 5*3. В алгебраїчних виразах знак множення зазвичай опускається. Для позначення послідовного множення багатьох елементів використовується символ  \prod .

Операція множення загалом має властивість асоціативності, але комутативність для неї не обов'язкова.

Множники можуть бути математичними об'єктами як однієї природи, так і різної. Добуток теж може бути математичним об'єктом зовсім іншого типу, відмінного від типу множників.

Визначення[ред.ред. код]

Множення натуральних чисел[ред.ред. код]

Операція множення натуральних чисел визначається через операцію додавання. Для того, щоб перемножити натуральне число \ n на натуральне число \ m необхідно обчислити суму, в якій число \ n береться \ m разів

\ n \cdot m = n + n + \ldots + n.

Наприклад,

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Множення натуральних чисел комутативне: від перестановки множників добуток не міняється.

Множення цілих чисел[ред.ред. код]

Результати обчислення
Додавання (+)
1-ший доданок + 2-гий доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
1-ший множник × 2-гий множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореняпідкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм

Множення цілих чисел зводиться до множення натуральних чисел — абсолютних величин цих чисел, а знак добутку визначається знаками множників. Добуток береться зі знаком «плюс», якщо обидва множники додатні або від'ємні, зі знаком «мінус», якщо множники мають різні знаки.

Результатом множення будь-якого числа на нуль є нуль.

Множення раціональних чисел[ред.ред. код]

Для того, щоб помножити раціональне число  \frac{p_1}{q_1} на раціональне число  \frac{p_2}{q_2} потрібно перемножити чисельники і знаменники дробів. Чисельник добутку є добутком чисельників, знаменник — добутком знаменників. При можливості проводяться скорочення.

\frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_1p_2}{q_1q_2}

Множення ірраціональних чисел[ред.ред. код]

Кожне ірраціональне число можна подати як границю певної раціональної послідовності.

Якщо ірраціональне число  a = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n , а  b = \lim_{n \rightarrow \infty} b_n , то

ab = \lim_{n \rightarrow \infty} a_nb_n

Множення комплексних чисел[ред.ред. код]

Множення комплексних чисел визначається за формулою

 (x_1, y_1)\cdot(x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1 y_2, x_1y_2+x_2y_1 ) ,

або, в іншій формі запису,

 (x_1+ i y_1)\cdot(x_2 + i y_2) = x_1x_2 - y_1y_2 + i(  x_1y_2+x_2y_1 ) ,

Вектори[ред.ред. код]

Для векторів існує кілька типів множення. Зокрема, вектор можна помножити на дійсне число. При цьому змінюється його довжина, і, при множенні на від'ємне число, напрямок (на протилежний).

Існують різні типи добутку двох векторів: скалярний добуток, векторний добуток, тензорний добуток (тензорний добуток векторів називається також діадним).

Матриці[ред.ред. код]

Матриці можна перемножити між собою, якщо кількість стовпчиків у першій із них збігається із кількістю рядків у другій. Результатом множення є матриця із кількістю рядків, яка дорівнює кількості рядків у першому множнику, і кількістю стовпчиків, яка дорівнює кількості стовпчиків у другому множнику. Тобто, при перемножуванні матриці m×n на матрицю n×k утворюється матриця m×k. Елементи матриці добутку визначаються за формулою

 c_{ij} = \sum_{k} a_{ik}b_{kj} \,

Множення матриць не має властивості комутативності. В загальному випадку  AB \neq BA .

Матрицю можна також помножити на число, при цьому кожен елемент матриці множиться на це число.

Оператори[ред.ред. код]

Добутком двох операторів називають їхнє послідовне застосування. При дії оператора A на об'єкт f утворюється об'єкт Af. Якщо подіяти тепер на нього оператором B, то утвориться новий об'єкт, який можна трактувати як утворений із початкового об'єкта f дією оператора BA.

Множення операторів у загальному випадку не комутативне.

Дивіться також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Погребиський Й. Б. Арифметика. К., 1953.