Пляшка Клейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ілюстрація пляшки Клейна у тривимірному просторі.
Пляшка Клейна може бути розрізана на дві стрічки Мебіуса

Пляшка Клейна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф.Клейном.

Походження назви[ред.ред. код]

Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова "поверхня Клейна" (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.[1]

Топологія "пляшки"[ред.ред. код]

Уявлення про пляшку Клейна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. рис.). Пляшка Клейна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.

Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.

Пляшка Клейна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, при чому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації: краї позначені кольорами, з напрямом орієнтації (стрілками).

Klein Bottle Folding 1.svg Klein Bottle Folding 2.svg
Klein Bottle Folding 3.svg Klein Bottle Folding 4.svg
Klein Bottle Folding 5.svg Klein Bottle Folding 6.svg

Пляшка Клейна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів, пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.

Властивості поверхонь типу "пляшка Клейна" вивчаються в топології.

Параметризація[ред.ред. код]

Реалізація пляшки Клейна у вигляді "вісімки".

Пляшка Клейна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u
y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u
z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v

У цьому виді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа r дорівнює радіусу кола. Параметр u задає кут на площині XY і v означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу із співвідношенням амплітуд 2:1

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Bonahon, Francis (2009-08-05). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. ISBN 9780821848166.