Пляшка Клейна

Ілюстрація пляшки Клейна у тривимірному просторі.

Пляшка Клейна може бути розрізана на дві стрічки Мебіуса

Пляшка Клейна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф.Клейном.

Походження назви

Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова "поверхня Клейна" (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.

Топологія "пляшки"

Уявлення про пляшку Клейна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. рис.). Пляшка Клейна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.

Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.

Пляшка Клейна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, при чому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації: краї позначені кольорами, з напрямом орієнтації (стрілками).

Пляшка Клейна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів, пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.

Властивості поверхонь типу "пляшка Клейна" вивчаються в топології.

Параметризація

Реалізація пляшки Клейна у вигляді "вісімки".

Пляшка Клейна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

$x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u$

$y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u$

$z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v$

У цьому виді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа $r$ дорівнює радіусу кола. Параметр $u$ задає кут на площині XY і $v$ означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу із співвідношенням амплітуд 2:1

Див. також

• Топологія
• Поверхня
• Стрічка Мебіуса
• Алгебраїчна топологія

Посилання

• Оптичні ілюзії. Пляшка Клейна.
• Анімаційний фільм про пляшку Клейна, створений у 2010 р. при Вільному Університеті м. Берлін (Freie Universität Berlin).