Поверхня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклад простої поверхні

Поверхня в математиці, особливо в топології, це двовимірний топологічний многовид.

Найвідомішими прикладами є ті, які виникають як межа тіла у звичайному тривимірному евклідовому просторі R3. Наприклад, це поверхня кулі. З іншого боку, є поверхні, такі як пляшка Клейна, які не можуть бути вкладеними в тривимірний евклідів простір без особливостей або самоперетинів.

Коли кажуть, що поверхня є «двовимірною», то це означає, що у кожної точки, існує окіл який можна відобразити без розриву на двовимірний круг.

Поняття поверхні використовується в фізиці, будівництві, комп'ютерній графіці і багатьох інших областях, які мають справу з поверхнями фізичних об'єктів. Наприклад, при аналізі аеродинамічних властивостей літака, перш за все, звертають увагу на потік повітря уздовж його поверхні.

Способи задання[ред.ред. код]

В тривимірному просторі поверхню можна визначити неявно, як множину точок, координати яких задовольняють певному виду рівнянь:

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)


Якщо функція F(x,\,y,\,z) неперервна в деякій точці і має в ній неперервні приватні похідні, принаймні одна з яких не звертається в нуль, то в околиці цієї точки поверхню, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

На відміну від неявного способу завдання, поверхня може бути визначена явно, якщо одну зі змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

z=f(x,y)\qquad (1')

Також існує параметричний спосіб завдання. У цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

\left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& x(u,v) \\
y &=& y(u,v) \\
z &=& z(u,v)
\end{array}\right.\qquad (1'')

Приклад рівнянь площини та сфери[ред.ред. код]

Явне та неявне рівняння площини в E3, яка співпадає з площиною Oxy мають однаковий вигляд — z=0.

Параметричне рівняння тієї ж площини: \left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& u \\
y &=& v \\
z &=& 0
\end{array}\right.,\quad u,v \in \Bbb{R}.

Неявне рівняння сфери одиничного радіуса с центром у початку координат в E3 — x^2+y^2+z^2=1.

Явне завдання сфери одним рівнянням не можливе. Можна явно описати дві півкулі — z=\pm\sqrt{1-x^2-y^2}.

Параметричне рівняння сфери: \left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& \sin v \; \cos u \\
y &=& \sin v \; \sin u \\
z &=& \cos v
\end{array}\right.,\quad  0 \leqslant u < 2\pi, \  0 \leqslant v \leqslant \pi.

Поняття про просту поверхню[ред.ред. код]

Докладніше: Проста поверхня

Інтуїтивно просту поверхню можна представити як шматок площини, підданий безперервним деформаціям (розтягуваням, стисканням і згинанням).

Більш строго, простою поверхнею називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначної та взаємно безперервного відображення) нутрощі одиничного квадрата. Цьому визначенню можна дати аналітичний вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівностям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфними образами квадрата в просторі з прямокутною системою координат х, у, z задається за допомогою формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметричне задання поверхні). При цьому від функцій x(u, v), y(u, v) і z(u, v) потрібно, щоб вони були безперервними і щоб для різних точок (u, v) і (u', v') були різними відповідні точки (x, у, z) і (x', у', z').

Прикладом простої поверхні є півсфера. Вся ж сфера не є простою поверхнею . Це викликає необхідність подальшого узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є околиця, що є простою поверхнею , називається правильної поверхнею.

Поверхня в диференціальної геометрії[ред.ред. код]

В диференціальної геометрії досліджувані поверхні зазвичай підпорядковані умовам, пов'язаним з можливістю застосування методів диференціального числення. як правило, це — умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні певної дотичній площині, кривизни, тощо. Ці вимоги зводяться до того, що функції, що задають поверхню, передбачаються одноразово, двічі, тричі, а в деяких питаннях — необмежену кількість разів диференційовними або навіть аналітичними функціями. При цьому додатково накладається умова регулярності.

Випадок неявного завдання. Поверхня, задана рівнянням F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3, є гладкою регулярною поверхнею , якщо: \exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0, функція F безперервно дифференцируема у своїй області визначення \Omega, а її приватні похідні водночас не звертаються в нуль (умова правильності) на всьому безлічі \Omega:

\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0

Випадок параметричного завдання. Задамо поверхню векторним рівнянням \mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v), або, що те ж саме, трьома рівняннями в координатах:

\left\{ \begin{array}{ccc} 
x &=& x(u,v) \\
y &=& y(u,v) \\
z &=& z(u,v)
\end{array}\right.\quad (u,\,v)\in\Omega

Ця система рівнянь задає гладку регулярну поверхню , якщо виконані умови:

  • система встановлює взаємно однозначну відповідність між образом та прообразом \Omega;
  • функції x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v) безперервно діфференцируєми в \Omega;
  • виконана умова невироджених:
\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0

геометрично остання умова означає, що вектори \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v} ніде не паралельні.

Координатна сітка на сфері

Параметри u, v можна розглядати як внутрішні координати точок поверхні. Фіксуючи одну з координат, ми отримуємо два сімейства координатних кривих, що покривають поверхню координатною сіткою.

Випадок явного завдання. Поверхня S може бути визначена як графік функції z=f(x,y); тоді S є гладкою регулярною поверхнею , якщо функція f дифференцируема. Цей варіант можна розглядати як окремий випадок параметричного завдання: x=u;\ y=v;\ z=f(u,v).

Дотична площина[ред.ред. код]

Дотична площина в точці поверхні.

Дотична площина в точці гладкої поверхні — це площина, що має максимальний порядок дотику з поверхнею в цій точці. Еквівалентний варіант визначення: дотичною площиною є площина, що містить дотичні до всіх гладких кривих, які проходять через цю точку.

Нехай гладка крива на параметрично заданої поверхні \mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v) задана у вигляді:

u = u(t);\ v = v(t).

Напрямок \mathbf{v} дотичній до такої кривої дає вектор:

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}

Звідси видно, що всі дотичні до всіх кривих в даній точці лежать в одній площині, що містить вектори \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}, які повинні бути незалежними. Якщо вектори будуть залежними, то поверхня не буде гладко параметризованою в цій точці.

Рівняння дотичної площини в точці \mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0) має вигляд:

\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r}} {\partial v}\right) = 0\quad (мішаний добуток векторів).

У координатах рівняння дотичної площини для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

дотична площина до поверхні в точці  (x_0,y_0,z_0)
неявне завдання \frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0)=0
явне завдання \frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=(z-z_0)
параметричне завдання \begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_u' & y_u' & z_u' \\ x_v' & y_v' & z_v' \end{vmatrix} = 0

Всі похідні обчислюються в точці (x_0,y_0,z_0).

Метрика та внутрішня геометрія[ред.ред. код]

Розглянемо гладку криву:

u = u(t);\ v = v(t).

Елемент її довжини визначається із співвідношення:

ds^2 = |d\mathbf{r}|^2 = \left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} du + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} dv\right)^2 = E\,du^2 + 2 F\,du\,dv + G\,dv^2,

де E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r'_v}.

Ця квадратична форма називається першою квадратичною формою та являє собою двовимірний варіант метрики поверхні. Для регулярної поверхні її дискримінант EG-F^2>0 у всіх точках поверхні. Коефіцієнт ~F=0 у точці поверхні тоді і лише тоді, коли в цій точці координатні криві ортогональні. Зокрема, на площині з декартовими координатами u, v отримуємо метрику ds^2 = du^2 + dv^2 (теорема Піфагора).

Перетворення гелікоїда в катеноїд.

Метрика не визначає однозначно форму поверхні. Наприклад, метрики гелікоїда та катеноїда, параметризованих відповідним чином, збігаються, тобто між їх областями існує відповідність, що зберігає всі довжини (ізометрія). Властивості, що зберігаються при ізометричних перетвореннях, називаються внутрішньою геометрією поверхні, а самі поверхні називаються ізометричними. Внутрішня геометрія не залежить від положення поверхні в просторі і не змінюється при її згинанні без розтягування та стиснення (наприклад, при згинанні циліндра в конус).

Метричні коефіцієнти E,\ F,\ G, окрім довжин кривих на поверхні, визначають також кути між кривими, площу областей, кривини та інше. Тому все, що залежить лише від метрики, відноситься до внутрішньої геометрії.

Нормаль та нормальний переріз[ред.ред. код]

Вектори нормалі в точках поверхні

однією з основних характеристик поверхні є її нормаль — одиничний вектор, перпендикулярний дотичній площині в заданій точці:

\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}.

Знак нормалі залежить від вибору координат.

Перетин поверхні площиною, що містить нормаль (в даній точці), утворює деяку криву на поверхні, яка називається нормальним перетином поверхні. Головна нормаль для нормального перетину збігається з нормаллю до поверхні (з точністю до знаку).

Якщо ж крива на поверхні не є нормальним перетином, то її головна нормаль утворює з нормаллю поверхні деякий кут \theta. тоді кривизна k кривої пов'язана з кривизною k_n нормального перетину (з тією ж дотичній) формулою Меньє:

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Координати орта нормалі для різних способів завдання поверхні наведені в таблиці:

Координати нормалі в точці поверхні
неявне завдання \frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}
явне завдання \frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}}
параметричне завдання \frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2}}

Тут: \frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix} z'_u & z'_v\\ x'_u & x'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}.

Всі похідні беруться в точці (x_0,y_0,z_0).

Кривина[ред.ред. код]

Для різних напрямків у заданій точці поверхні виходить різна кривина нормального перетину, яка називається нормальної кривиною; їй приписується знак плюс, якщо головна нормаль кривої йде в тому ж напрямку, що і нормаль до поверхні, або мінус, якщо напрямку нормалей протилежні.

Взагалі кажучи, в кожній точці поверхні існують два перпендикулярних напрями e_1 и e_2, в яких нормальна кривина приймає мінімальне та максимальне значення; ці напрямки називаються головними. Виняток становить випадок, коли нормальна кривина в усіх напрямках однакова (наприклад, у сфери або на торці еліпсоїда обертання), тоді всі напрямки в точці — головні.

Поверхні з негативною (ліворуч), нульовий (в центрі) та позитивної (праворуч) кривиною.

Нормальні кривини в головних напрямках називаються головними кривинами; позначимо їх \kappa_1 і \kappa_2. Величина:

K=\kappa_1\kappa_2

називається гаусової кривиною, повної кривиною або просто кривиною поверхні. Зустрічається також термінскаляр кривини , який має на увазі результат згортки тензора кривини; при цьому скаляр кривини вдвічі більше, ніж гаусова кривина.

Гаусова кривина може бути обчислена через метрику, і тому вона є об'єктом внутрішньої геометрії поверхонь (відзначимо, що головні кривини до внутрішньої геометрії не належать). За знаком кривини можна класифікувати точки поверхні (див. малюнок). Кривина площині дорівнює нулю. Кривина сфери радіуса R всюди дорівнює \frac 1{R^2}. Існує та поверхня постійної негативної кривини — псевдосфера.

Геодезичні лінії, геодезична кривизна[ред.ред. код]

Докладніше: Геодезична лінія

Крива на поверхні називається геодезичною лінією, або просто геодезичною, якщо у всіх її точках головна нормаль до кривої збігається з нормаллю до поверхні. Приклад: на площині геодезичними будуть прямі та відрізки прямих, на сфері — великі кола та їх відрізки.

Еквівалентна визначення: у геодезичної лінії проекція її головною нормалі на дотичну площину є нульовий вектор. Якщо крива не є геодезичною, то зазначена проекція ненульова; її довжина називається геодезичною кривиною k_g кривої на поверхні. Має місце співвідношення:

k^2 = k_g^2 + k_n^2,

де k — кривина цієї кривої, k_n — кривина її нормального перетину з тією ж дотичній.

Геодезичні лінії є об'єктом внутрішньої геометрії. Перелічимо їх головні властивості.

  • Через дану точку поверхні в заданому напрямку проходить одна і лише одна геодезична.
  • На достатньо малій ділянці поверхні дві точки завжди можна з'єднати геодезичною, і притому лише однією. Пояснення: на сфері протилежні полюси з'єднує нескінченну кількість меридіанів, а дві близькі точки можна з'єднати не лише відрізком великого кола, але і його доповненням до повної окружності, так що однозначність виконується лише в малому відрізку.
  • Геодезична є найкоротшою. Більш строго: на достатньо малому околі поверхні найкоротший шлях між заданими точками лежить на геодезичній.

Площа[ред.ред. код]

Ще один важливий атрибут поверхні — її площа, яка обчислюється за формулою:

S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Тут \mathbf{r}'_u=\left\{\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{\partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v},\,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}.

У координатах отримуємо:

явне завдання параметричне завдання
вираз для площі \iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y \iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

Топологічні типи поверхонь[ред.ред. код]

З точки зору топологічного будови, поверхні як двовимірні многовиди бувають:

Багатовимірні узагальнення[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]