Поверхня

Приклад простої поверхні

Пове́рхня — традиційна назва для двовимірного многовиду в просторі.

Способи задання

Поверхня означаються як множина точок, координати яких задовільняють визначеному типу рівнянь:

$F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)$

Якщо функція $F(x,\,y,\,z)$ неперервна в деякій точці і має в ній неперервні частинні похідні, принаймні одна з яких не перетворюється на нуль, то в околі цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхньою.

Крім зазначеного вище неявного способу завдання поверхня може бути визначена явно, якщо одну із змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

$z=f(x,y)\qquad (1')$

Також існує параметричний спосіб задання. У цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

$\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{array}\right.\qquad (1'')$

Поняття про просту поверхню

Інтуїтивно просту поверхню можна уявити як шматок площини, на який подіяли неперервними деформаціями (розтяг, стиск і згин).

Більш строго, простою поверхньою називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного та взаємно неперервного) внутрішності одиничного квадрата. Цьому означенню можна дати аналітичний вираз.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівностям 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфний образ квадрата в просторі з прямокутною системою координат х, у, z задається за допомогою формул х = x (u, v), у = y (u, v), z = z (u, v) ( параметричне завдання поверхні). При цьому від функцій x (u, v), y (u, v) і z (u, v) потрібно, щоб вони були неперервними і щоб для різних точок (u, v) і (u ', v') були різними відповідні точки (x, у, z) і (x', у', z').

Прикладом простої поверхні є півсфера. Але сфера не є простою поверхнею. Це викликає необхідність подальшого узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, у кожної точки якого є окіл, що є простою поверхнею, називається правильною поверхнею.

Поверхня в диференційній геометрії

В диференційній геометрії на поверхні, котрі досліджують, зазвичай накладають умови, пов'язані з можливістю застосування методів диференційного числення. Зазвичай, це — умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні визначеної дотичної площини, кривизни тощо. Ці вимоги зводяться до того, що функції, котрі задають поверхню, приймаються одно-, двічі-, тричі-, а то й необмежену кількість разів диференційовними чи навіть аналітичними. При цьому додатково накладається умова регулярності.

• Випадок неявного задання: Поверхня, задана рівнянням $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$, є гладкою регулярною поверхнею, якщо $\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$, функція $F$ неперервно диференційовна в своїй області визначення $\Omega$, а її частнкові похідні одночасно не перетворюються на нуль (умова регулярності) на всій множині $\Omega$:

  $\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0$

• Випадок параметричного задання: Поверхня, задана системою

  $\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& X(u,v) \\ y &=& Y(u,v) \\ z &=& Z(u,v) \end{array}\right.\quad (u,\,v)\in\Omega$
  

є гладкою регулярною поверхнею, якщо я система встановлює взаємно однозначну відповідність між образом і прообразом $\Omega$, функції $X(u,v),\,Y(u,v),\,Z(u,v)$ неперервно диференційовні в $\Omega$, виконується умова невирожденості:

$\begin{vmatrix}X'_u & X'_v \\ Y'_u & Y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}Y'_u & Y'_v \\ Z'_u & Z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}Z'_u & Z'_v \\ X'_u & X'_v \end{vmatrix}^2>0$

• Зокрема, поверхня $S$, задана як графік $z=f(x,y)$, є гладкою регулярною поверхнею, якщо функція $f$ диференційовна

Нормаль

Однією з основних характеристик поверхні є її нормаль — вектор, перпендикулярний до дотичної площини, проведеної до поверхні в заданій точці. Формули обчислення нормалей поверхні мають такий вигляд.

	нормаль в точці поверхні	рівняння дотичної до поверхні в заданій точці
неявне задання	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$	$\frac{\partial F}{\partial x}_{x_0}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}_{y_0}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}_{z_0}(z-z_0)=0$
явне задання	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}}$	$\frac{\partial f}{\partial x}_{x_0}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}_{y_0}(y-y_0)=(z-z_0)$
параметричне задання	$\frac{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)};\,\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}}$	$\frac{D(y,z)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(x-x_0)+\frac{D(z,x)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(y-y_0)+\frac{D(x,y)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(z-z_0)=0$

Де $\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}X'_u & X'_v \\ Y'_u & Y'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Y'_u & Y'_v \\ Z'_u & Z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Z'_u & Z'_v \\ X'_u & X'_v \end{vmatrix}$.

Площа

Ще одна важлива властивість поверхні — це її площа.

	явне задання	параметричне задання
вираз для площі	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v$	$\iint\,|[\dot{r}_u\times\dot{r}_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v$

Де $\dot{r}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{\partial u}\right), \quad \dot{r}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v},\,\frac{\partial z}{\partial v}\right)$

Поверхня в топології

Орієнтація

Стрічка Мебіуса.

Також важливою характеристикою поверхні є її орієнтація.

Поверхня називається двосторонньою, якщо на всій її протяжності вона має неперервний вектор нормалі. У супротивному випадку поверхня називають односторонньою.

Орієнтованою називається двостороння поверхня з вибраним напрямком нормалі.

Прикладами односторонніх, а отже і неорієнтовних поверхонь є пляшка Клейна або стрічка Мебіуса.

Топологічні типи поверхонь

З точки зору топологічної будови, поверхні як двовимірні многовиди бувають:

• Замкнуті і відкриті,
• орієнтовні та неорієнтовні
• і т. д.

Література

• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002 - 240c.
• Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа - Москва: Дрофа - 570с.