Поверхня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Пове́рхня — геометричне поняття, при логічному уточненні якого, в різних розділах геометрії йому надається різний зміст.

У елементарніїй геометрії - це площина, многогранник, а також деякі «криві поверхні». При цьому кожна поверхня визначається спеціальним способом, без загального означення, найчастіше як множина точок, котрі задовольняють певні умови. Наприклад, сфера — множина точок, котрі знаходяться на однаковій відстані від однієї точки, котру називають центром сфери. Поняття «поверхні» лише пояснюється, а не визначається. Наприклад, кажуть, що поверхня є границею тіла чи слідом рухомої лінії.

У сучасній геометрії поверхнею називають двовимірну множину, двовимірну підмножину, але інколи навіть так означають довільну множину точок.

Математично строге означеня поверхні побудоване на основі понять топології. При цьому основним є поняття простої поверхні, котру можна подати як частину площини, до котрої було застосовано деформації, розтягування, стиск і згин.

[ред.] Поверхня в просторі

Точніше, простою поверхнею називаєтся образ гомеоморфного відображення (тобто взаємнооднозначного и взаємнонепервного відображення) простору квадрату. Цьому означенню можна дати і аналітичне представлення.

Нехай на площині з прямокутною системою координат u і v заданий квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівності 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфний образ квадрату в просторі з прямокутною системою координат х, у, z задається за допомогою формул х = X(u, v), у = Y(u, v), z = Z(u, v) (параметричне заданя поверхні). При цьому на функції X(u, v), Y(u, v) и Z(u, v) накладаються вимога неперервності і вимога існування для різних точок (u, v) і (u', v') різних відповідних точок (x, у, z) и (x', у', z').

Прикладом простої поверхні є півсфера. Вся ж сфера не є простю поверхнею. Тут виникає необхідність подальшого узагальнення поняття поверхні.

Підмножина простору, кожна точка якого має за окіл - просту поверхню, називається правильною поверхнею.

[ред.] Поверхня в аналітичній геометрії

В аналітичній геометрії і в алгебричній геометрії поверхні визначаються як множини точок, координати яких задовольняють певний вид рівнянь:

$F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)$

Таким чином означувана поверхня може і не мати наглядного геометричного вигляду. В такому випадку для збереження загальності кажуть, що поверхня уявна. Наприклад, рівняння:

$x^2+y^2+z^2+1=0\qquad (2)$

визначає уявну сферу, хоч у просторі дійсних чисел нема жодної точки, координати якої задовольняють таке рівняння. Якщо функція $F(x,\,y,\,z)$ непрервна в деякій точці і має в ній неперервні часткові похідні, хоча би одна з яких не перетворюється на нуль, то в околі цієї точки поверхня, задана рівнянням (1), буде правильною поверхнею.

Крім уже сказаного неявного способу задання, поверхня може бути визначена явно, якщо одну із змінних, наприклад z, можна виразити через інші:

$z=f(x,y)\qquad (1')$

Також існує параметричний спосіб задання. В цьому випадку поверхня визначається системою рівнянь:

$\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& X(u,v) \\ y &=& Y(u,v) \\ z &=& Z(u,v) \end{array}\right.\qquad (1'')$

[ред.] Поверхня в диференційній геометрії

В диференційній геометрії на поверхні, котрі досліджують, зазвичай накладають умови, пов'язані з можливістю застосування методів диференційного числення. Зазвичай, це — умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні визначеної дотичної площини, кривизни тощо. Ці вимоги зводяться до того, що функції, котрі задають поверхню, приймаються одно-, двічі-, тричі-, а то й необмежену кількість разів диференційовними чи навіть аналітичними. При цьому дододатково накладається умова регулярності.

Випадок неявного задання: Поверхня, задана рівнянням $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$ , є гладкою регулярною поверхнею, якщо $\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$ , функція $F$ неперервно диференційовна в своїй області визначення $Ω$ , а її частнкові похідні одночасно не перетворюються на нуль (умова регулярності) на всій множині $Ω$ :

$\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0$
Випадок параметричного задання: Поверхня, задана системою

$\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& X(u,v) \\ y &=& Y(u,v) \\ z &=& Z(u,v) \end{array}\right.\quad (u,\,v)\in\Omega$

є гладкою регулярною поверхнею, якщо я система встановлює взаємно однозначну відповідність між образом і прообразом

Ω

, функції $X(u,v),\,Y(u,v),\,Z(u,v)$ неперервно диференційовні в

Ω

, виконується умова невирожденості:

$\begin{vmatrix}X'_u & X'_v \\ Y'_u & Y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}Y'_u & Y'_v \\ Z'_u & Z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}Z'_u & Z'_v \\ X'_u & X'_v \end{vmatrix}^2>0$

Зокрема, поверхня $S$ , задана як графік $z = f (x, y)$ , є гладкою регулярною поверхнею, якщо функція $f$ диференційовна

[ред.] Нормаль

Однією из основних характеристик поверхні є її нормаль — вектор, перпендикулярний до дотичнної площини, проведеної до поверхні в заданій точці. Формули обчислення нормалей поверхні мають такий вигляд.

	нормаль в точці поверхні	рівняння дотичної до поверхні в заданій точці
неявне задання	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$	$\frac{\partial F}{\partial x}_{x_0}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}_{y_0}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}_{z_0}(z-z_0)=0$
явне задання	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}}$	$\frac{\partial f}{\partial x}_{x_0}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}_{y_0}(y-y_0)=(z-z_0)$
параметричне задання	$\frac{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)};\,\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}}$	$\frac{D(y,z)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(x-x_0)+\frac{D(z,x)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(y-y_0)+\frac{D(x,y)}{D(u,v)}_{u_0,v_0}(z-z_0)=0$

Де $\frac{D(x,y)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}X'_u & X'_v \\ Y'_u & Y'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(y,z)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Y'_u & Y'_v \\ Z'_u & Z'_v \end{vmatrix},\quad\frac{D(z,x)}{D(u,v)}=\begin{vmatrix}Z'_u & Z'_v \\ X'_u & X'_v \end{vmatrix}$ .

[ред.] Площа

Ще одна важлива властивість поверхні — це її площа.

	явне задання	параметричне задання
вираз для площі	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2}\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v$	$\iint\,\|[\dot{r}_u\times\dot{r}_v]\|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v$

Де $\dot{r}_u=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{\partial u}\right), \quad \dot{r}_v=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v},\,\frac{\partial z}{\partial v}\right)$

[ред.] Орієнтація

Стрічка Мебіуса.

Також важливою характеристикою поверхні є її орієнтація.

Поверхня називається двосторонньою, якщо на всій її протяжності вона володіє неперервним вектором одиничної нормалі. В протилежному випадку поверхня називається односторонньою.

Орієнтованою називаєтся двостороння поверхня з вибранним напрямком одиничної нормалі.

Прикладами односторонніх, а відповідно і неорієнтовних поверхонь є пляшка Кляйна чи стрічка Мебіуса.

[ред.] Типи поверхонь

С точки зору топологічної будови, поверхні як двовимірні множини бувають:

замкнуті та відкриті,
ориентовні та неорієнтовні

[ред.] Література

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002 - 240c.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа - Москва: Дрофа - 570с.

Поверхня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Поверхня в просторі

[ред.] Поверхня в аналітичній геометрії

[ред.] Поверхня в диференційній геометрії

[ред.] Нормаль

[ред.] Площа

[ред.] Орієнтація

[ред.] Типи поверхонь

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами