Раціональний кубоїд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Раціональний кубоїд[1] (або цілочисельна цеглина, або ідеальний кубоїд) — прямокутний паралелепіпед, у якого всі сім основних величин (три ребра, три лицьових діагоналі і просторова діагональ) є цілими числами. Інакше кажучи, раціональний кубоїд — цілочисельне рішення системи діофантових рівнянь.

\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\\a^2 + b^2 + c^2 = g^2\end{cases}

Досі невідомо, чи існує такий паралелепіпед. Комп'ютерний перебір не знайшов жодної цілочисельної цеглини з ребрами до 1011. [2] Втім, знайдено кілька «майже цілочисельних» паралелепіпедів, у яких цілочисельними є всі величини, крім однієї:

  • (672, 153, 104)\, — одна з лицевих діагоналей не ціле число.
  • (18720, \sqrt{211773121}, 7800), (520, 576, \sqrt{618849}) — одне з ребер не ціле число.
  • Велика кількість паралелепіпедів Ейлера (з нецілою просторовою діагоналлю, див. нижче).
  • Косокутні паралелепіпеди, у яких всі сім величин цілі. При цьому досить одного непрямого кута.

У 2005 році тбіліський студент Лаша Маргішвілі запропонував доведення, що цілочисельний кубоід не існує — однак на 2009 рік робота так і не пройшла перевірку незалежними вченими. [3][4]

Паралелепіпед Ейлера[ред.ред. код]

Прямокутний паралелепіпед, у якого цілочисельні тільки ребра і лицьові діагоналі, називається ейлеровим. Найменший з паралелепіпедів Ейлера — (240, 117, 44), з лицьовими діагоналями 267, 244 і 125. Ще кілька паралелепіпедів Ейлера:

  • (275, 252, 240),
  • (693, 480, 140),
  • (720, 132, 85),
  • (792, 231, 160).

Ейлер описав два сімейства таких паралелепіпедів (звідси назва). Втім, повного опису всіх паралелепіпедів Ейлера також немає.

Відомі такі вимоги до ейлерового паралелепіпеда (а значить, і до цілочисельної цеглини) [5]:

  • Одне ребро ділиться на 4, друге ділиться на 16, третє непарне (якщо, звичайно, він примітивний — тобто, НСД (a, b, c) = 1).
  • Одне ребро ділиться на 3 і ще одне — на 9.
  • Одне ребро ділиться на 5.
  • Одне ребро ділиться на 11.
  • Одне ребро ділиться на 19.
  • Одне ребро або просторова діагональ діляться на 13.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 17.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 29.
  • Одне ребро, лицьова або просторова діагональ діляться на 37.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Perfect Cuboid на сайті Wolfram MathWorld
  2. The "Integer Brick" Problem
  3. Lasha Margishvili "The Diophantine Rectangular Parallelepiped (A Perfect Cuboid)": part 1, part 2
  4. Mu Alpha Theta
  5. Primitive Euler Bricks