Діофантові рівняння

Діофантові рівняння— невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами в яких невідомі змінні можуть приймати тільки цілі значення. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта александрійського.

Діофантовим рівнянням 1-го ступеня (лінійним) з $n$ невідомими називається рівняння виду $(a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=b)$, де всі коефіцієнти і невідомі— цілі числа і хоча б одне $a_i\ne0$

Розв'язком діофантового рівняння буде упорядкована послідовність n цілих чисел $(x_1^\prime,x_2^\prime,\ldots,x_n^\prime)$. Така, що задовільняє $a_1x_1^\prime+a_2x_2^\prime+\ldots+a_nx_n^\prime)$

Теорема 1 Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими $ax+by=c$ можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число $c$ ділиться націло на НСД(а, b)

Теорема 2 Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими $ax+by=c$ можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли НСД(а, b) =1, НСД(а,b,с)=1, тобто, цілі числа а та b - взаємно прості, ( не мають спільного дільника, крім 1).

Приклади

• Лінійне рівняння:

$a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=a$

Дане рівняння має розв'язок тоді й лише тоді коли НСД $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ ділить a.

• Рівняння Безу

$ax + by = d$

Має розв'язок тоді і тільки тоді коли d = НСД(a, b).

• $x^n + y^n = z^n$:
  • При $n=2$ розв'язками рівняння будуть піфагорові трійки
  • Велика теорема Ферма стверджує, що рівняння не має розв'язків при $n>2$.
• $x^2 - n y^2 = 1$, де n не є точним квадратом — рівняння Пелля
• $x^z - y^t = 1$, де $z,t>1$, — рівняння Каталана
• $\sum_{i=0}^n a_i x^i y^{n-i} = c$ при $n\ge 3$ і $c\ne 0$ — рівняння Туе

Література

1. L.J. Mordell (1969). Diophantine equations. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
2. Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000