Діофантові рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Діофантові рівняння — невизначені поліноміальні рівняння з цілими коефіцієнтами, в яких невідомі змінні можуть набувати тільки цілих значень. Названі на честь давньогрецького математика Діофанта александрійського.

Діофантовим рівнянням 1-го ступеня (лінійним) з n невідомими називається рівняння вигляду (a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=b), де всі коефіцієнти і невідомі — цілі числа і хоча б одне a_i\ne0

Розв'язком діофантового рівняння буде n цілих чисел (x_1^\prime,x_2^\prime,\ldots,x_n^\prime), що задовольняє a_1x_1^\prime+a_2x_2^\prime+\ldots+a_nx_n^\prime = b)

Теорема 1 Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими ax+by=c можна розв'язати в цілих числах тоді й тільки тоді, коли число c ділиться націло на НСД(а, b)

Теорема 2 Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими ax+by=c можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли НСД(а, b) =1, НСД(а, b, с)=1, тобто, цілі числа а та b — взаємно прості, (не мають спільного дільника, крім 1).

Історія[ред.ред. код]

  • Рівняння вигляду P(x, y,…,z)=0, де P(x, y,…,z)=0 многочлен декількох змінних із цілими коефіцієнтами, для яких потрібно знайти цілі розв'язки, називають діофантовими рівняннями. Названі вони ім'ям грецького математика Діофанта, який жив у ІІІ столітті н. е. Його книга «Арифметика» містила 189 задач із цілими числами, для кожної з яких наводилося один або декілька розв'язків.

Розв'язати діофантове рівняння означає:

  • a) з'ясувати, чи має рівняння хоча б один ненульовий розв'язок у цілих числах;
  • b) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, то з'ясувати скінченна чи нескінченна множина його розв'язків;
  • c) знайти всі цілі розв'язки рівняння.

Лінійні діофантові рівняння виду навчились розв'язувати ще до Діофанта. Стародавні греки знали, що якщо це рівняння має розв'язок (x_0,y_0), то йому буде задовольняти нескінченна множина пар (x, y) виду x=x_0+bk \,\,\, y=y_0-bk, де k — будь яке ціле число.


Математики Стародавньої Греції та Стародавньої Індії знали методи розв'язання деяких рівнянь другого степеня вигляду ax²+bxy+cy²=dz² . Зокрема їм були відомі всі піфагорові трійки натуральних чисел x, y, z, що задовольняють рівнянню x²+y²=z² . Всі трійки взаємно простих піфагорових чисел стародавні математики знаходили за формулами x=m²-n², y=2mn, z=m²+n² , m, n — натуральні числа, n>m.
У 20-х роках ХХ сторіччя англійський математик Морделл висунув гіпотезу, що рівняння вищого степеня, ніж третій, можуть мати лише скінчену кількість цілих розв'язків. Цю гіпотезу було доведено голландським математиком Фалтінгсом 1983 року[Джерело?].

Особливе місце серед діофантових рівнянь посідає рівняння x^n+y^n=z^n, де n — натуральне число. Французький математик П'єр Ферма стверджував, що для n>2 це рівняння не має розв'язків у натуральних числах. Однак довести це твердження, яке назвали Великою теоремою Ферма, виявилося не так просто.

Діофантові рівняння першого степеня[ред.ред. код]

Рівняння виду ax+by=c, де a, b, c — числа, а x, y- змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв'язання рівняння застосовують наступні теореми.

  • Теорема1. Якщо a i b — взаємно прості числа, то для будь якого цілого c, рівняння має хоча б один розв'язок у цілих числах.
  • Теорема2. Якщо a i b мають спільний натуральний дільник d<>1 , а ціле число c не ділиться на d, то рівняння ax+by=c не має розв'язків в цілих числах.
  • Теорема3. Якщо a i b — взаємно прості числа, то рівняння ax+by=c має нескінченну кількість розв'язків, які знаходять за формулами x=x_0+bk \,\,\, y=y_0-bk, де (x_0,y_0) — будь-який цілий розв'язок цього рівняння, k є Z.

Частинний розв'язок (x_0,y_0) для малих a i b можна знайти підбором, а у випадку, коли числа a i b великі, скористувавшись наступною теоремою:

  • Теорема4. НСД(a, b)=d може бути записаний у вигляді d=am+bn, де m, n — цілі числа.

Приклади[ред.ред. код]

  • Лінійне рівняння:
a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n=a

Це рівняння має розв'язок тоді й лише тоді коли найбільший спільний дільник (a_1,a_2,\ldots,a_n) ділить a.

ax + by = d

Має розв'язок тоді і тільки тоді коли d = НСД(a, b).

Нерозв'язність у загальному вигляді[ред.ред. код]

Десята проблема Гільберта, сформульована 1900 року, полягає пошуку алгоритму для розв'зання довільних алгебраїчних діофантових рівнянь. 1970 року Юрій Матіясевіч довів алгоритмічну нерозв'язність цієї проблеми[1].

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. L.J. Mordell (1969). Diophantine equations. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
  2. Wolfgang M. Schmidt.Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000
  3. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1978. — (Популярные лекции по математике).
  4. Серпинский В. Н. О решении уравнений в целых числах. — М.: Физматлит, 1961. — 88 с.
  5. Михайлов И. О диофантовом анализе // Квант. — 1980. — № 6. — С. 16-17,35.
  6. Степанов С. А. Диофантовы уравнения // Тр. МИАН СССР. — 1984. — Т. 168. — С. 31-45.
  7. Weisstein, Eric W. «Diophantine Equation». Wolfram MathWorld - A Wolfram Web Resource.  (англ.).